Probabilité de deux évènements indépendants
Le concept est simple à comprendre : la connaissance d'un évènement n'apporte aucune information sur l'éventuelle réalisation d'un autre. Il s'agit d'une notion essentielle en statistiques mais nous limiterons le propos au niveau d'une classe de première générale.
Cas d'indépendance
La situation d’indépendance est très courante dans les jeux : lancers successifs de pièces (pile ou face) ou de dés, tirages de cartes avec remise, etc. En revanche, un tirage du loto ne rentre pas dans ce cadre puisqu'une même boule ne pouvant sortir deux fois, un numéro donné n'a pas la même probabilité d'apparaître au début ou à la fin du tirage.
Autre exemple. Si vous savez combien de secondes durent les différents feux tricolores que vous rencontrez sur votre trajet, vous pouvez établir des probabilités de tomber sur telle couleur. Si ces feux sont synchronisés, vous pouvez même établir un arbre pondéré et ainsi probabiliser toutes les situations que vous risquez de rencontrer. Mais si les feux ne le sont pas, les évènements "couleur du premier feu", "couleur du deuxième feu"... sont indépendants. Dans une telle situation, il est moins intéressant de construire l’arbre car, pour chaque nœud d’un même niveau, il présente les mêmes branches affectées des mêmes probabilités.
Ici nous n'aborderons que les situations où deux évènements sont indépendants mais ces exemples on montré qu'il peut y en avoir davantage (ceci est traité en page de succession d'évènements indépendants, programme de terminale générale, spécialité maths).
Définition
La définition de l’indépendance est la suivante :
\(P(A ∩ B) = P(A) × P(B)\)
Ainsi, lorsqu’on veut savoir si deux évènements sont indépendants, on cherche à vérifier cette égalité.
La formule des probabilités conditionnelles devient donc caduque. Que l’évènement \(A\) soit ou non réalisé, la probabilité \(B\) reste la même. En d'autres termes, les évènements \(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si \(P_B(A) = P(A).\)
Propriétés
Si deux évènements \(A\) et \(B\) sont indépendants, alors l'évènement contraire de \(A\) (noté \(\bar{A}\)) et \(B\) sont également indépendants.
Démonstration. \(A\) et \(B\) sont indépendants : \(B = (A \cap B) + (\bar{A} ∩ B).\)
Donc \(P(B) = P(A ∩ B) + P(\bar{A} ∩ B).\)
Or, par définition de l’indépendance entre \(A\) et \(B,\) nous avons \(P(A ∩ B)\) \(=\) \(P(A) × P(B).\)
Par conséquent \(P(B)\) \(=\) \(P(A) × P(B) + P(\bar{A} ∩ B)\)
\(⇔ P(B) - P(A) \times P(B)\) \(=\) \(P(\bar{A} ∩ B).\)
\(P(B)(1 - P(A))\) \(=\) \(P(\bar{A} ∩ B)\)
\(⇔ P(B) × P(\bar{A})\) \(=\) \(P(\bar{A} ∩ B).\)
L'évènement contraire de \(A\) et l'évènement \(B\) sont bien indépendants.
De même on pourrait démontrer que l'évènement contraire de \(A\) et l'évènement contraire de \(B\) sont indépendants eux aussi.
Incompatibilité
Il est également aisé de montrer que deux évènements à probabilité non nulle ne sont pas indépendants s'ils sont incompatibles.
En effet, par définition de l'incompatibilité, \(P(A \cap B) = 0.\) Mais si les probabilités ne sont pas nulles, alors \(P(A) \times P(B) \ne 0.\)
Exemple
Soit \(A\) et \(B\) deux évènements.
\(P(A) = 0,5,\) \(P(B) = 0,3\) et \(P(A \cap B) = 0,15.\)
\(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Oui car \(0,5 \times 0,3 = 0,15.\)
Exercice
Soit 300 collégiens. 120 étudient l'anglais, 100 l'espagnol et les autres l'allemand. Parmi ces élèves, 120 ont voyagé à l'étranger au cours de leurs vacances, dont 40 qui étudient l'espagnol et 30 l'anglais.
On appellera \(V\) l'évènement « vacances à l'étranger », \(A\) « étudie l'anglais » et \(E\) « étudie l'espagnol »
1- Construire le tableau des effectifs.
2- Les évènements « étudie l'espagnol » et « vacances à l'étranger » sont-ils indépendants ?
3- Les évènements « étudie l'anglais » et « vacances à l'étranger » sont-ils indépendants ?
4- Les évènements « étudie l'anglais » et « étudie l'espagnol » sont-ils indépendants ?
Corrigé
1- Tableau des effectifs
\(V\) | \(\overline{V}\) | Total | |
---|---|---|---|
Espagnol | 40 | 60 | 100 |
Allemand | 50 | 30 | 80 |
Anglais | 30 | 90 | 120 |
Total | 120 | 180 | 300 |
2- \(P(E \cap V) = \frac{40}{300} = \frac{2}{15}\)
\(P(V) = \frac{120}{300} = \frac{2}{5}\) et \(P(E) = \frac{100}{300} = \frac{1}{3}\)
\(P(V) \times P(E) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}.\)
\(P(E) \times P(V) = P(E \cap V),\) les évènements « étudie l'espagnol » et « vacances à l'étranger » sont indépendants.
3- \(P(A \cap V) = \frac{30}{300} = \frac{1}{10}\)
\(P(V) = \frac{120}{300} = \frac{2}{5}\) et \(P(A) = \frac{120}{300} = \frac{2}{5}\)
\(P(V) \times P(A) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}.\) Or, \(\frac{4}{25} \ne \frac{1}{10}.\)
Les évènements « étudie l'anglais » et « vacances à l'étranger » ne sont pas indépendants.
4- Il s'agit de deux évènements incompatibles. Par conséquent, ils ne sont pas indépendants.