La somme de variables aléatoires

Exercices sur sommes de v.a

Dans ce qui suit vous trouverez un bref rappel de cours, de niveau terminale maths de spécialité, puis des exercices (pas trop difficiles) sur les sommes de variables aléatoires.

 

Rappels

Soit \(n\) variables aléatoires (v.a) définies sur un univers \(Ω .\)

\(X_1 + X_2 + … + X_n)(ω)\) \(=\) \(X_1(ω) + X_2(ω) + … + X_n(ω)\)

D’où la propriété d’additivité de l’espérance :

\(E(X_1 + X_2 + … + X_n)\) \(=\) \(E(X_1) + E(X_2) +… + E(X_n)\)

Cette propriété ne fonctionne pas avec les variances, sauf si les v.a sont toutes indépendantes les unes des autres.

 

Exercice 1

Un musée propose deux tarifs, individuel et groupe : 5 € et 8 € ainsi que la gratuité pour les enfants de moins de 10 ans. Il propose aussi la location d’un audioguide à 2 €. On s’intéresse à la somme que va débourser un visiteur. On l’appellera \(X.\)

Déterminer les valeurs que prend la v.a \(X\) après l’avoir décomposée en somme de deux v.a.

Corrigé 1

Soit \(X_1\) la v.a correspondant au prix d’entrée et \(X_2\) celle qui correspond à l'éventuelle location d’un audioguide.

Donc \(X = X_1 + X_2.\)

Les valeurs que peut prendre \(X\) sont 0, 2, 5, 7, 8 et 10.

 

Exercice 1 bis

Un stagiaire est chargé de statistiques pour le musée. Il a établi la loi de probabilité des dépenses des visiteurs :

Prix 0 2 5 7 8 10
Probabilité 0,15 0,05 0,35 0,20 0,20 0,05

Soit 10 visiteurs tirés au sort. Soit la v.a \(X\) donnée par la recette perçue sur ces 10 visiteurs. On assimilera ce tirage au sort à un tirage aléatoire avec remise.

Écrire \(X\) sous forme d’une somme de v.a puis calculer l’espérance \(E(X)\) et la variance \(V(X).\)

Corrigé 1 bis

Soit \(X_i\) la v.a correspondant à la somme payée par le client \(i.\)

\(X = X_1 + X_2 +…+ X_n\)

L’espérance de recette sur un client s’élève à :

\(2 × 0,05\) \(+\) \(5 × 0,35\) \(+\) \(7 × 0,2\) \(+\) \(8 × 0,2\) \(+\) \(10 × 0,05\) \(=\) \(5,35\)

Par additivité de l’espérance, \(E(X) = 10 × 5,35 = 53,5\)

Le musée peut espérer une recette de 53,50 € sur dix visiteurs.

Calcul de variance avec la formule de könig. Commençons par l’espérance des carrés :

\(2^2 × 0,05\) \(+\) \(5^2 × 0,35\) \(+\) \(7^2 × 0,2\) \(+\) \(8^2 × 0,2\) \(+\) \(10^2 × 0,05\) \(=\) \(36,55\)

\(36,55 - 5,35^2 = 7,9275\)

Sur un visiteur, la variance des dépenses s’établit à 7,9275.

Note : on peut aussi dresser un tableau pour calculer la variance selon sa formule de définition :


Donc sur 10 visiteurs \(V(X) = 10 × 7,9275 = 79,275\) puisqu’on a considéré les dépenses des visiteurs comme indépendantes.

 

Exercice 2

Soit un dé cubique équilibré lancé \(n\) fois. Soit \(X\) la v.a correspondant à la somme totale de points obtenus. Les lancers sont indépendants les uns des autres.

Décomposer \(X\) comme une somme de v.a \(X_i.\) Calculer \(E(X_i) et V(X_i)\) puis en déduire \(E(X)\) et \(V(X).\)

Corrigé 2

\(X = X_1 + X_2 +… + X_n.\)

\(E(X_i) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3,5\)

Pour calculer la variance, réutilisons la formule de König.

L’espérance des carrés s’établit ainsi :

\(\frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}\)

Le carré de l’espérance : \(3,5^2 = 12,25\)

D’où \(V(X_i) = \frac{91}{6} - 12,25 ≈ 2,917\)

Comme les lancers sont indépendants, \(E(X) = 3,5n\) et \(V(X) = 2,917n.\)

 

Exercice 3

Soit deux v.a indépendantes \(X\) et \(Y\) dont les écarts-types sont respectivement 6 et 8. Quel est l’écart-type de \(X + Y\) ?

Corrigé 3

Le piège serait d’additionner les écarts-types. Il faut passer par les variances (carrés des écarts-types).

\(V(X) = 36\) et \(V(X) = 64.\) Donc \(V(X + Y) = 100\)

Par conséquent, l’écart-type de \(X + Y\) vaut \(\sqrt{100} = 10.\)