Les probabilités

Probabilités : rappels et vocabulaire

Cette page survole le vocabulaire et les principes de ces chères probas... On peut la considérer comme un rappel des notions vues dans le secondaire dans le dessein de préparer aux études supérieures. Si vous vous situez dans les programmes du secondaire, cherchez plutôt les problématiques qui vous intéressent dans les portails de niveaux : seconde, premières technologiques, première générale, terminales technologiques, ou terminale générale.

 

Un tout petit peu d'histoire

Les probabilités mirent longtemps à devenir une branche des mathématiques à part entière. Leur étude remonte au seizième siècle avec Cardano (Cardan), avant d'être un peu plus explorée au siècle suivant par Pascal, Fermat et les frères Huygens. Ces derniers étendirent une théorie jusqu'alors réservée aux jeux de hasard à des statistiques démographiques. Puis Bernoulli et de Moivre consolidèrent les fondements mais c'est Pierre-Simon de Laplace qui synthétisa les connaissances sur le sujet en publiant en 1812 Théorie des probabilités. « Surtout, il mit en valeur cette idée philosophique essentielle que les probabilités ne sont pas le hasard, mais une théorie mathématique aux lois bien définies » (Laplace, la description mathématique de l'Univers, coll. Génies mathématiques, RBA 2018).

Fermat

 

Vocabulaire

Selon le Petit Larousse, une probabilité est la « mesure des chances de réalisation d'un évènement aléatoire ». Oui, mais justement, qu'est-ce qu'un évènement ?

Un évènement peut être soit le résultat observé d'un unique phénomène aléatoire (ou issue) et il est dit élémentaire, soit une conjonction de plusieurs issues (faire un double six avec deux dés, par exemple), soit le résultat d'un ensemble d'issues possibles (obtenir un nombre pair avec un dé). L’épreuve est le terme utilisé pour qualifier l’acte ou l’occurrence qui se traduit par un évènement (lancer de dés, tirage de cartes…). L'ensemble des issues possibles est appelé univers.

Mathématiquement, une mesure de probabilité est une application définie sur un espace probabilisable dans l'intervalle \([0\,; 1].\) Si par exemple l'évènement a une chance sur deux de se produire, la probabilité s’établit à 0,5.

Deux évènements sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent survenir en même temps. Si vous lâchez une tartine (épreuve), elle tombe soit du côté pain (évènement \(A\)), soit du côté confiture (évènement \(B\)). Formellement : \(A \cap B = \emptyset.\) Dans ce cas, \(B\) est l’évènement contraire de \(A.\)

Lorsque tous les évènements ont la même probabilité de survenir, on parle d’équiprobabilité.

La probabilité que l’évènement \(A\) survienne est notée \(P(A),\) plus rarement \({\rm{Pr}}(A).\) Voir la page sur la notation en statistiques et probabilités.

Les propriétés suivantes doivent donc vous sembler évidentes (la seconde est la probabilité de l’évènement contraire, qui se note avec une barre au-dessus) : \(P(\emptyset) = 0\) et \(P(\overline{A}) = 1 - P(A).\)

 

Propriété d'additivité

On retrouve les notations de la théorie des ensembles. Si deux évènements \(A\) et \(B\) sont possibles, la formule fondamentale, qui se devine d’ailleurs avec un peu de bon sens, est : \(P(A \cup B)\) \(=\) \(P(A) + P(B) - P(A \cap B).\)

Le terme soustrait indique qu’on ne compte pas deux fois l’évènement où les deux probabilités apparaissent. Ceci devient plus compliqué lorsque plus de deux évènements sont possibles : c’est alors la formule de Poincarré qui généralise la formule d’additivité.

Illustrons ceci avec cet extrait tiré de l’épreuve du bac ES 2007 de Nouvelle-Calédonie.

    Une machine produit des pièces dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut \(A\) et le défaut \(B,\) à l’exclusion de tout autre défaut. (…) \(28\%\) ont le défaut \(A,\) \(37\%\) ont le défaut \(B\) et \(10\%\) ont les deux défauts. (…) Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse ?

La réponse est évidemment \(0,28 + 0,37 - 0,10\) \(=\) \(0,55\) (une autre réponse possible aurait été de conseiller l’envoi d’une telle machine à la casse mais on aurait bêtement perdu 1 point sur l’épreuve…).

La suite de l’exercice s’intéresse aux seules pièces n’ayant qu’un défaut. Les probabilités sont disjointes. Nous allons poursuivre l’exploration de cet exemple pour découvrir quelques amusements supplémentaires.

    On admet que \(40\%\) de ces pièces ont seulement le défaut \(A\) et que \(60\%\) de ces pièces ont seulement le défaut \(B.\) (…) \(40\%\) des pièces qui ont le défaut \(A\) sont réparables et \(30\%\) des pièces qui ont le défaut B sont réparables. On choisit une pièce au hasard.

L’énoncé demande ensuite de nommer les évènements (\(A\) si défaut \(A,\) \(B\) si défaut \(B\) et \(R\) si réparable) et de tracer un arbre pondéré, ce que l’on ne fera pas ici.

\(A\) et \(B\) forment une partition de l’univers des possibles.

    Calculer la probabilité de l’évènement « la pièce choisie a le défaut \(A\) et est réparable ».

Nous savons que \(40\%\) des pièces ont le défaut \(A\) et, parmi ces dernières, \(40\%\) sont réparables. La probabilité cherchée est donc de \(0,4 × 0,4\) \(=\) \(0,16.\)

pièces

 

Probabilités totales

    Calculer la probabilité de l’évènement « la pièce choisie est réparable ».

Il s’agit de trouver une probabilité totale, ce total étant la somme des probabilités des évènements où la pièce est réparable :

\(P(R)\) \(=\) \(P(A \cap R) + P(B \cap R)\)

Nous avons calculé le premier terme à la question précédente (0,16), nous faisons maintenant la même chose pour le second. \(0,3 × 0,6 = 0,18.\) L’addition des deux nous permet d’affirmer que la probabilité qu’une pièce est réparable s’établit à 0,34 (et accessoirement que le responsable de la qualité ferait mieux de livrer des pizzas).

 

Probabilités conditionnelles

Une probabilité est conditionnelle si elle est calculée « à condition » qu’un évènement survienne. Dans une épreuve du bac, la probabilité est très forte pour que la formule ci-dessous doive être écrite si l’énoncé commence par « sachant que… » :

\(\displaystyle{P_R(A) = \frac{P(A \cap R)}{P(R)}}\)

    Sachant que (tiens, le voilà !) la pièce choisie est réparable, déterminer la probabilité qu’elle ait le défaut \(A.\)

Ne soyez pas rebuté pat le côté irréel d’une telle question, les probabilités conditionnelles ouvrent un champ particulièrement fécond et opérationnel aux statistiques (notamment par le théorème de Bayes).

La réponse à la question est \(\frac{0,16}{0,34} = \frac{8}{17}.\)

La fin de cet exercice est traité en page de probabilités d'évènements indépendants.

 

Loi de probabilité

Lorsqu’une probabilité est associée à chaque évènement possible, cette mesure est appelée loi de probabilité. Certaines sont faciles à résumer sous forme de tableau. Ci-dessous, \(n_i\) représente le nombre de pannes par semaine.

\(n_i\) 0 1 2 3 4
\(P(X=n_i)\) 0,72 0,16 0,09 0,02 0,01

Espérance : \((0 \times 0,72)\) \(+\) \((1 \times 0,16)\) \(+\) \((2 \times 0,09)\) \(+\) \((3 \times 0,02)\) \(+\) \((4 \times 0,01)\) \(=\) \(0,41\) panne.

Voir aussi les problèmes de probabilités (entre autres).

Bien souvent, de telles lois établies après une longue observation sont remplacées par des lois théoriques qui permettent de dépasser cet aspect purement descriptif grâce à leurs propriétés. Les cas ne manquent pas sur ce site pour montrer les bienfaits des modélisations ! Concrètement, c'est à partir d'un test d'adéquation que l'on s'autorise ou non ce tour de passe-passe (khi², Kolmogorov-Smirnov ou autre...).

 

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