Équations différentielles avec second membre
Le programme de maths de terminale générale spécialité maths comprend l’étude de trois types d’équations différentielles. Le troisième dans l’ordre d’apprentissage est l’équation différentielle du premier degré avec second membre, \(y’ = ay + f(x).\)
Comment procéder ?
Si \(a = 0,\) on cherche tout simplement les primitives de \(f.\)
Si \(a ≠ 0\) c’est une (respirez un bon coup) équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.
Dans ce cas on cherche une solution particulière \(y_0\) à l’aide d’informations fournies dans l’énoncé (en terminale, on vous aide à la trouver). Pour cela, il faut d’abord vérifier la dérivabilité de \(y_0\) puis dériver \(y_0\) et comparer \(y’_0\) avec \(ay_0 + f(x).\) On conclut que les solutions sont de la forme \(y(x) = y_0(x) + ce^{ax}.\) Voir les exemples et exercices ci-dessous.
Exemple
Soit l’équation \((E)\) : \(y’ = -2y + 8x + 8.\)
Vérifions que \(y_0 = 4x + 2\) est une solution particulière.
\(y_0\) est dérivable (fonction affine) et \(y’_0 = 4.\)
\(-2y_0 + 8x + 8 = -2(4x + 2) + 8x + 8\)
\(⇔ -2y_0 + 8x + 8\) \(=\) \(-8x - 4 + 8x + 8\) \(=\) \(4\) \(=\) \(y’_0\)
Résolvons.
L’équation homogène associée est \(y’ = -2y\) dont la solution est \(x ↦ ce^{-2x}\) avec \(c\) constante réelle.
La solution générale de \((E)\) est donc \(y(x) = 4x + 2 + ce^{-2x}\)
Exercice 1
Soit l’équation \((F)\) : \(y’ - 2y = -2x^2 - 2x + 10\)
Vérifier que \(y_0 = x^2 + 2x - 4\) est une solution particulière puis donner une solution générale de \((F).\)
Corrigé
Soit \(y_0 = x^2 + 2x - 4\) donc \(y’_0 = 2x + 2\)
\(y’_0 - 2y_0\) \(=\) \(2x + 2 - 2(x^2 + 2x - 4)\)
\(⇔ y’_0 - 2y_0\) \(=\) \(2x + 2 - 2x^2 - 4x + 8\)
\(⇔ y’_0 - 2y_0\) \(=\) \(-2x^2 - 2x + 10\)
C’est bien une solution particulière.
L’équation homogène associée est \(y’ = 2y.\) Sa solution est \(x ↦ ce^{2x}\) avec \(c ∈ \mathbb{R}.\)
La solution générale de \(F\) est donc \(y(x) = x^2 + 2x - 4 + ce^{2x}\) avec \(c ∈ \mathbb{R}.\)
Question subsidiaire : vérifier \((F)\) avec \(c = 3.\)
\(y’ - 2y\) \(=\) \(2x + 2 + 6e^{2x} - 2(x^2 + 2x - 4 + 3e^{2x})\)
Après simplification, on retrouve bien \((F).\)
Exercice 2
Soit l’équation \((G)\) : \(y’ = 3y + 2e^x\)
Vérifier que \(y_0 = -e^x\) est une solution particulière puis donner une solution générale de \((G).\)
Corrigé
Si \(y_0 = -e^x\) alors \(y’_0 = -e^x\)
Or \(-e^x = -3e^x + 2e^x\)
Nous avons vérifié que \(y_0 = -e^x\) était une solution particulière de\((G).\)
La solution générale est \(y(x) = -e^x + ce^{3x}\) avec \(c ∈ \mathbb{R}.\)
Avec condition initiale
La vérification d’une condition initiale implique la détermination de la constante \(c.\)
Reprenons notre équation \(E\) et trouvons la solution qui vérifie \(f(0) = 1.\)
Rappelons que l’on emploie \(y\) dans les équations différentielles par commodité d’écriture. L’énoncé aurait pu être « … qui vérifie \(y(0) = 1.\) »
La solution générale était \(y(x) = 4x + 2 + ce^{-2x}\)
Remplaçons \(x\) par 0.
\(2 + ce^0 = 1\)
\(⇔ 2 + c = 1\)
\(⇔ c = -1\)
L’unique solution de \((E)\) est \(f(x) = 4x + 2 - e^{-2x}\)
Ce n’est pas très compliqué !
Exercice 2 bis
Reprendre l’exercice 2 avec comme condition \(f(1) = 0.\)
\((G)\) : \(y’ = 3y + 2e^x\)
Nous avons trouvé comme solution générale :
\(y(x) = -e^x + ce^{3x}\) avec \(c ∈ \mathbb{R}.\)
\(f(1) = -e + ce^3\)
\(-e + ce^3 = 0\)
\(⇔ e(-1 + ce^2) = 0\)
\(⇔ -1 + ce^2 = 0\)
\(⇔ ce^2 = 1\)
\(⇔ c = e^{-2}\)
Donc \(f(x)\) \(=\) \(-e^x + e^{-2}e^{3x}\) ou, pour dire les choses plus simplement, \(f(x)\) \(=\) \(-e^x + e^{3x-2}\)
