Les équations différentielles homogènes

Équations différentielles homogènes d'ordre 1

En France, c’est en classe de terminale générale que l’on découvre les équations différentielles.

Elles sont parfois présentées en même temps que les primitives. Ici, nous supposerons que vous savez déjà ce qui se cache derrière ce terme étrange de « primitive ».

 

Première approche

Une équation différentielle d’ordre 1 est une équation dont l’inconnue est une fonction dont la dérivée fait elle-même partie de l’équation.

Par commodité d’écriture, la fonction est nommée \(y\) et sa dérivée \(y’.\)

On précise toujours l’intervalle sur lequel l’équation doit être vérifiée.

 

Présentation

L’équation la plus simple se présente sous la forme \(y’ = ay\) ou \(y’ - ay = 0.\) Elle est dite « homogène » (il n’y a pas de second membre).

Vous connaissez bien sûr la fonction qui est égale à sa propre dérivée : c’est la fonction exponentielle.

Donc les solutions sont de type \(y(x) = ce^{ax}\) avec \(c\) constante réelle.

Exemple.

\(y’ = 3y\)

Les solutions sont de type \(ce^{3x}\)

Si \(c = 1\) nous vérifions bien qu’en dérivant \(e^{3x}\) nous obtenons \(3e^{3x}.\)

On peut retenir n’importe quelle valeur de \(c.\) Si \(c = -2\) nous dérivons \(-2e^{3x}\) et nous obtenons \(-6e^{3x}.\)

 

Démonstration

Démontrons que les solutions d’une équation différentielle \(y’ = ay\) avec \(a ∈ \mathbb{R}\) sont de type \(y(x) = ce^{ax}\) avec \(c\) constante réelle.

Généralisons d’abord de que nous venons de montrer avec un exemple chiffré.

\(f(x) = ce^{ax}\) donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f’(x) = ace^{ax}\) \(=\) \(af(x).\)

Il faut à présent vérifier que toutes les solutions sont de cette forme.

Soit \(y(x)\) solution de l’équation et soit une fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) telle que \(g(x) = y(x)e^{-ax}.\)

Donc \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(g’(x)\) \(=\) \(y’(x)e^{-ax} - ay(x)e^{-ax}\) (dérivée d’une fonction produit).

Remplaçons \(y’\) par \(ay.\)

\(g’(x) = ay(x)e^{-ax}  - ay(x)e^{-ax} = 0\)

Si \(g’(x) = 0\) alors \(g\) est une fonction constante, donc de type \(g(x) = c.\)

Donc \(y(x)e^{-ax} = c\)
\(⇔ y(x) = ce^{ax}\)

Troisième étape, la vérification de l’unicité de la solution.

Théorème : pour tout \(x_0 ∈ \mathbb{R}\) et tout \(y_0 ∈ \mathbb{R}\) l’équation admet une unique solution \(y\) telle que \(y(x_0) = y_0\)

Comme on suppose que \(y(x_0) = y_0\) alors \(ce^{ax_0} = y_0\)
\(⇔ c = y_0 e^{-ax_0}\)

Donc \(y(x) = y_0 e^{-ax_0} × e^{ax}\)
\(⇔ y(x) = y_0 e^{a(x-x_0)}\)

La solution est unique.

Ce théorème sera utilisé lorsque l’énoncé indiquera une condition initiale.

 

Représentation graphique

Reprenons notre exemple où \(y’ = 3y.\) Selon quelques valeurs de \(c\) voici les courbes représentatives. Elles sont ascendantes pour \(c > 0\) et descendantes pour \(c < 0.\)

courbes équations différentielles

 

Propriétés

Soit \(y_1\) et \(y_2\) deux solutions d’une équation différentielle.

Alors \(y_1 + y_2\) est aussi solution, de même que \(ky_1\) avec \(k ∈ \mathbb{R}\)

 

Exercice corrigé

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(2y’ + 5y = 0\)

Corrigé

Cette équation peut être écrite \(y’ = - \frac{5}{2}y\)

Donc \(a = -\frac{5}{2}\)

Les solutions s’écrivent sous la forme \(f : x ↦ ce^{-\frac{5}{2}x}\) avec \(c \in \mathbb{R}.\)

 

mille-pattes