Sous-tangentes et équations différentielles
L’exercice ci-dessous est de niveau terminale générale, maths complémentaires. Il suppose que vous connaissez la notion de sous-tangente et que vous avez étudié les équations différentielles.
Il consiste à déterminer l'expression d’une fonction, définie sur \(\mathbb{R}\), à partir d’informations sur les sous-tangentes à sa courbe représentative.
Rappel
Ci-dessous, la sous-tangente à la courbe est représentée par le segment \([P\, ;M’]\) (dans l’exercice suivant nous retiendrons ces points \(P,\) intersection de la tangente en \(M\) avec l’axe des abscisses et \(M’,\) projeté orthogonal de \(M\) sur ce même axe).
Énoncé
1- Déterminer la longueur d’une sous-tangente à une courbe au point \(M\) dont l’abscisse est \(a.\)
2- Soit \(l\) la longueur \(PM’.\) Exprimer le résultat de la question 1 sous forme d’équations différentielles homogènes.
3- Résoudre ces équations différentielles sur \(\mathbb{R}.\)
Corrigé
1- En \(M,\) l’équation de la tangente est \(y = f(a) + f’(a)(x - a).\)
Cette tangente croise l’axe des abscisses au point \(P\) d’abscisse \(p.\)
Elle vérifie donc l’équation suivante :
\(f(a) + f’(a)(p - a) = 0\)
\(⇔ f’(a)(p - a) = - f(a)\)
\(⇔ p - a = - \frac{f(a)}{f’(a)}\)
\(⇔ p = a - \frac{f(a)}{f’(a)}\)
La distance entre le point \(P\) d’abscisse \(p\) et \(M\) d’abscisse \(a\) s’établit donc à \(\left|a - \left(a - \frac{f(a)}{f’(a)}\right)\right|\) soit \(\left|\frac{f(a)}{f’(a)}\right|.\)
2- D’après la question précédente, nous avons \(l = \left|\frac{f(a)}{f’(a)}\right|.\)
Donc \(l = \frac{f(a)}{f’(a)}\) ou \(l = -\frac{f(a)}{f’(a)}.\)
\(⇔ f’(a) = \frac{1}{l}f(a)\) ou \( f’(a) = - \frac{1}{l}f(a)\)
Écrit autrement :
\(y’ = \frac{1}{l} y\) ou \(y’ = - \frac{1}{l} y.\)
3- Rappel de cours :
Une équation de forme \(y’ = ay\) a pour solution \(y(x) = ce^{a(x)}\) avec \(c\) constante réelle.
Par conséquent, les fonctions de la forme \(x ↦ ce^{\frac{x}{l}}\) et \(x ↦ ce^{-\frac{x}{l}}\) sont solutions (\(c ≠ 0\)).
Illustrations
Grâce au logiciel GeoGebra, illustrons ce résultat avec deux exemples.
Soit \(c = 1\) et \(l = 2.\) Choisissons le point \(M\) d’abscisse 2. Donc \(M’(2\, ;0).\)
La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) a pour expression \(f(x) = e^{\frac{x}{2}}.\)
Déterminons l’équation de la tangente à la courbe.
La dérivée de \(f\) s’écrit \(f’(x) = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}.\)
Tangente en \(a = 2\) : \(y = e + \frac{e}{2}x - e\) soit \(y = \frac{1}{2}e^x.\)
Elle s’annule pour \(x = 0.\) Le point \(P\) est donc l’origine du repère. Par conséquent nous avons bien \(PM’ = 2 = l.\)
Magnifique.
Choisissons à présent \(c = 0,5\) et \(l = 5\) avec le point \(M\) d’abscisse 3. Donc \(M’(3\, ;0).\)
\(f(x) = 0,5 e^{\frac{x}{5}}\) et sa dérivée \(f’(x) = 0,1 e^{\frac{x}{5}}\)
Tangente en \(a = 3\) : \(y = 0,2 e^{\frac{3}{5}} + 0,1 e^{\frac{3}{5}}x\)
La tangente s’annule pour \(x = - 2\) donc \(P(-2\, ;0).\)
Nous avons bien \(PM’ = 5 = l.\)
