Intérêts simples précomptés
En général, lorsqu’on emprunte de l’argent, on verse des intérêts à notre créancier soit au moment de rembourser la dette, soit le plus souvent périodiquement. Mais il arrive aussi que, lorsque les emprunts courent sur une durée brève (moins d’un an), ces intérêts soient versés au moment même de l’emprunt. C’est par exemple le cas quand un effet de commerce est escompté. C'est aussi le mode de calcul utilisé pour la plupart des titres à court terme émis sur le marché des titres de créances négociables (TCN).
Du coup, si un emprunteur a besoin de 10 000 €, il doit demander davantage à son banquier puisque celui-ci prélève d’entrée de jeu des intérêts et des commissions.
Bien sûr, les formules de calcul sont différentes de celles qui sont employées dans le cadre plus habituel des intérêts post-comptés. Voyons comment obtenir, avec des intérêts simples, la valeur actuelle et la valeur acquise.
Soit \(V_0\) la valeur actuelle, \(V_n\) la valeur acquise, \(n\) la durée du placement et \(i\) le taux d’intérêt rapporté à la durée \(n.\)
Valeur acquise
La question est de savoir combien il faut emprunter pour obtenir une somme donnée :
\[V_n = \frac{V_0}{1 - (i \times n)}\]
Par exemple, une entreprise a besoin de se financer pour 10 000 € sur une durée de 30 jours, le taux d’intérêt annuel étant de \(6\%.\) Elle doit donc emprunter…
\[\frac{10\,000}{1 - (0,06 \times \frac{30}{360})}\]
... soit 10 050,25.
Nul besoin d’ordinateur surpuissant pour constater que les intérêts s’élèvent à 50,25 €.
Remarquons au passage que les intérêts précomptés permettent d'enregistrer des montants ronds à l'échéance...
Valeur actuelle
Pour tel montant demandé à la banque, combien recevra l’entreprise ?
La formule s’obtient très facilement à partir de la précédente : \(V_0\) \(=\) \(V_n \times [1 - i \times n)].\)
Par exemple, une entreprise demande 10 000 € sur une durée de 30 jours, taux d’intérêt précompté de \(6\%.\) Elle obtient : \(10\,000 × [1 - (0,06 × \frac{30}{360})]\) \(=\) \(9\,950\)
Coût réel du crédit
Comme vous l’aviez deviné, il est plus avantageux pour l’emprunteur que ses intérêts soient postcomptés plutôt que précomptés.
Supposons qu’une entreprise emprunte 10 000 pour une durée d'un mois au taux de \(6\%\) (intérêts postcomptés). Coût de l'opération :
\(10\,000 × \frac{1}{12} × \frac{6}{100}\) \(=\) \(50.\)
Or, si les intérêts sont précomptés, la somme de 50 est due immédiatement et l’entreprise ne reçoit que 9 950. Soit \(i\) le taux du crédit.
\(9\,950 × i × \frac{1}{12} = 50\)
Donc \(i = 6,03\%\)
Exercice (valeur actuelle)
Une entreprise détient une traite de 8 000 € sur un client, échéance au 30 avril. Afin de faire face à un léger problème de trésorerie, il est décidé de l’escompter le 12 février auprès de la banque (année non bissextile). Sachant que le taux est de \(5\%\) et que les commissions bancaires s’élèvent à 5 €, déterminez le montant effectivement reçu.
Corrigé
Calcul du nombre de jours : 16 en février, 31 en mars et 30 en avril, soit 77 jours.
\(V_0 =\) \(8\,000 \times \left[1 - \left(0,05 \times \frac{77}{360} \right) \right]\)
D’où \(V_0 = 7\,914,14\) € desquels la banque ôte 5 € de commissions. L’entreprise ne reçoit que 7 909,14 € pour faire face à son incident de trésorerie.
Autre exercice (valeur acquise puis valeur actuelle)
Voir le plan de trésorerie.
