Deux exemples de calculs d'intérêts
Cette page propose une toute première approche des calculs d’intérêts. À l'origine, elle avait été rédigée pour des élèves de seconde et illustrait un thème de PFEG (matière qui n'existe plus), « à quoi sert une banque ? ». Aujourd'hui, elle s'inscrit plutôt dans la filière STMG.
Deux exemples simples sont présentés : celui d’un produit d’épargne, de type livret A, et celui d’un crédit aux particuliers.
Rémunération d’un compte d’épargne
Soit un compte sur livret, rémunéré à \(2\%.\) Mme Fourmi y dépose 2 000 € le 30 juin de l’année \(n.\) Les intérêts lui sont versés tous les ans au 31 décembre.
De quel montant dispose Mme Fourmi à la fin de l’année \(n\) ?
Réponse : sur une année complète, le montant des intérêts s’élèverait à \(2000 × \frac{2}{100},\) c’est-à-dire 40 €. Or, les intérêts n’ont couru que sur la moitié de l’année. Donc, Mme Fourmi n’a reçu que 20 € de la banque. Au 31 décembre, elle dispose de 2 020 € sur son livret.
L’année suivante, elle ne verse ni ne retire aucune somme d’argent. De combien dispose-t-elle au 31 décembre \(n+1\) ?
Les intérêts de l’année \(n+1\) ne s’élèvent pas à 40 € puisqu’ils ne sont plus calculés sur 2 000 € mais sur 2 020 €. Les intérêts reçus une année rapportent eux-mêmes des intérêts les années suivante : c’est le principe des intérêts composés.
Calcul : \(2020 + (2020 × \frac{2}{100})\) \(=\) \(2020 + 40,40\;€\) \(=\) \(2060,40\;€\)
Nous supposerons que Mme fourmi ne touche plus à son livret pendant plusieurs années et que le taux d'intérêt reste inchangé à \(2\%.\) Pour être sûr d’avoir assimilé le mécanisme, vous pouvez vérifier deux ou trois lignes consécutives sur le tableau ci-dessous.
Ce type de calcul (pourcentage d’évolution) est développé dans le programme de maths de seconde.
Remboursement d’un crédit
Mme Cigale n’a pas suffisamment d’argent sur son compte pour satisfaire ses envies matérielles. Comme elle ne veut pas se rabaisser à aller crier famine chez Mme Fourmi sa voisine, elle remplit une demande de crédit par Internet.
Elle emprunte 1 200 € sur 12 mois.
Supposons que le taux d’intérêt soit de \(6\%\) (sous-entendu : par an, puisqu’un taux est toujours supposé ANNUEL lorsqu'il est donné sans autre précision de durée).
Dans la réalité, il existe plusieurs façons de calculer les échéances, c’est-à-dire les montants que Mme Cigale devrait rembourser chaque mois. Elles ne donnent pas les mêmes résultats. Nous opterons pour la plus simple, le taux proportionnel.
Le taux proportionnel s’obtient en divisant le taux annuel par le nombre de remboursements dans l’année (ici : douze). Donc, \(6\%\) divisé par 12, soit \(0,5\%\) par mois. C’est le taux périodique.
C’est-à-dire que le premier mois, Mme Cigale doit verser à sa banque \(1200 × \frac{0,5}{100}\) \(=\) \(6\;€\) d’intérêts, en plus du remboursement d'une partie de ce qu'elle a emprunté.
Supposons que le montant de chaque remboursement s'élève à 106 €. Comme le premier mois Mme Cigale paie 6 € d’intérêt, ceci signifie qu’elle rembourse 100 € sur son capital de départ.
Ce type de calcul est du domaine des mathématiques financières. Si après le bac vous faites des études économiques (école de commerce, licence d’économie…), vous les étudierez beaucoup plus en détail et vous reviendrez certainement consulter quelques pages plus techniques de ce site web. Ce que vous devez retenir à présent, c’est qu’il faut toujours distinguer le capital et les intérêts dans les calculs. Bien sûr, lorsque la banque prélève une somme sur votre compte, il n’y a qu’une seule ligne sur votre relevé.
Au total, Mme Cigale va payer \(12 × 106) - 1200\) \(=\) \(72\;€\) d’intérêts. C’est le coût de son crédit. On constate sur le tableau ci-dessous qu’au fur et à mesure qu’elle le rembourse, la part des intérêts diminue. C’est tout à fait logique puisqu’ils sont calculés sur un capital de plus en plus faible.
Réciproquement, il faut que la part du capital soit de plus en plus forte pour que le total du remboursement se maintienne à 106 €.
Dans cet exemple, on retrouve 72 € en calculant \(1200 × 6\%\) mais c’est juste pour ne pas vous embrouiller. Dans la réalité, les échéances n’auraient pas été de 106 € et le coût réel du crédit aurait largement dépassé les \(6\%\) affichés !
