Un exercice sur les droites rationnelles

Théorèmes de Bézout et de Gauss au bac S

Savez-vous ce qu’est une droite rationnelle dans un plan repéré ?  C’est une droite dont le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine sont des nombres rationnels, tout simplement. Bien sûr, les paramètres sont rarement irrationnels et la quasi-totalité des droites que l’on trace en cours de maths ou parfois dans la vie professionnelle le sont. La qualification de droite rationnelle est donc rarement employée ! Sauf dans le sujet du bac S spé maths de juin 2016 en métropole. Ne vous y trompez pas, cette page ne traite pas de propriétés de droites particulières mais bien d’arithmétique.

 

Sujet

Pour tout couple d’entiers relatifs non nuls (a, b), on note pgcd (a, b) le plus grand diviseur commun de a et b.
Le plan est muni d’un repère (O ; i ; j).

1. Exemple. Soit la droite Δ1 d’équation

y = (5/4)x - (2/3)

a. Montrer que si (x, y) est un couple d’entiers relatifs alors l’entier 15x – 12y est divisible par 3.
b. Existe-t-il au moins un point de la droite Δ1 dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.

2. Généralisation

On considère désormais une droite Δ d’équation (E) :

y = m/n x - p/q

… où m, n , p et q sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd(m ; n) = pgcd(p,q) = 1.

Ainsi, les coefficients de l’équation (E) sont des fractions irréductibles et on dit que Δ est une droite rationnelle.

Le but de l’exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur m, n, p et q pour qu’une droite rationnelle Δ comporte au moins un point dont les coordonnées (x0, y0) où x0 et y0 sont des entiers relatifs.

a. En remarquant que le nombre ny0 – mx0 est un entier relatif, démontrer que q divise le produit np.
b. En déduire que q divise n.

3. Réciproquement, on suppose que q divise n et on souhaite trouver un couple (x0, y0) d’entiers relatifs tels que

y0 = m/n x0 - p/q

a. On pose n = qr ; où r est un entier relatif non nul. Démontrer qu’on peut trouver deux entiers relatifs u et v tels que qru – mv = 1.
b. En déduire qu’il existe un couple (x0, y0) d’entiers relatifs tels que

4. Soit Δ la droite d’équation

y = 3/8 x - 7/4

Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier.

Une cinquième question n’est pas traitée ici (algorithme).

 

Corrigé commenté

1. a. L’exercice commence par une question particulièrement simple ! En effet, 15x – 12y = 3(5x – 4y).

Comme x et y sont des entiers, 5x et 4y le sont aussi et leur différence également. Par conséquent, l’entier 15x – 12y est divisible par 3.

b. La technique consiste à d’abord transformer l’équation de cette droite de façon à n’avoir que des paramètres entiers en l’un de ses points de coordonnées (x0, y0), puis de vérifier que x0 et y0 sont bien des entiers.

y0 = 15/12 x0 - 8/12

Multiplions les deux membres par 12. Donc 12y0 = 15x0 – 8 et par conséquent 15x0 – 12y0 = 8.

Utilisons le résultat de la question précédente. 15x0 – 12y0 est divisible par 3. Mais 8 n’est pas un multiple de 3. Ce qui est fort regrettable : la droite Δ1 ne possède aucun point de coordonnées entières.

2. a. Il est enfantin de remarquer que ny0 – mx0 est un entier relatif : comme n, m, x0 et y0 sont des entiers, alors les produits ny0 et mx0 sont des entiers et leur différence est un entier également.

Transformons l’équation de la droite de la même façon que nous l’avions fait avec l’exemple chiffré.

nqy0 = qmx0 – pn

Comme le suggère la première partie de la question, faisons apparaître ny0 – mx0. Facile. Il suffit de factoriser par q.

q(ny0 – mx0) = -pn

Par conséquent pn est le produit d’un entier relatif par q et q divise np.

b. Nous savons que q divise np et que p et q sont premiers entre eux. Donc, d’après le théorème de Gauss, q divise n.

3. a. Nous savons que n et m sont premiers entre eux. Or, selon le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs u et v tels que numv’ = 1.

Soit n = qr. Nous obtenons qru + mv’ = 1.

Comme v’ est un entier relatif, l’égalité reste vraie si l’on prend son opposé.

Ainsi, qru – mv = 1. Il existe bien deux entiers u et v qui vérifient cette égalité.

b. Nous avons vu à la question 2.a que cette égalité pouvait s’écrire q(ny0 – mx0) = -pn.

Si l’énoncé nous a introduit l’entier r, on se doute bien qu’il nous faudra l’employer.

q(ny0 – mx0) = -pqr
 ny0 – mx0 = -pr
 qry0 – mx0 = -pr

C’est là le passage le plus délicat du sujet. Comme le suggère l’énoncé, réinvestissons le résultat que nous venons d’obtenir.

qru – mv = 1

L’idée est de multiplier les deux membres de cette égalité par (-pr) afin de se « rapprocher » de l’égalité précédente.

-qrupr + mvpr = pr

Ainsi, par identification, on remarque que x0 = -vpr et y0 = -upr.

Il y a bien un couple de solutions à notre équation. Soit x0 = -vpr et y0 = -upr.

4. Soit m = 3, n = 8, p = 7 et q = 4. Nous remarquons que pgcd(m, n) = pgcd(p, q) = 1 et que n est un multiple de q. Soit n = qr avec r = 2.

D’après la question précédente, cette droite possède bien au moins un point dont les coordonnées sont entières. Le sujet ne demandait pas d’en fournir un exemple mais ne boudons pas notre plaisir. Par exemple si l’on choisit u = 2, alors qr × 1 – mv = 1, donc 16 – 3v = 1, d’où v = 5.

Donc un point A de Δ a pour coordonnées xA = -5 × 7 × 2 = -70 et yA = -2 × 7 × 2 = -28.

A(-70 ; -28) appartient à Δ.