Théorèmes de Bézout et de Gauss au bac
Savez-vous ce qu’est une droite rationnelle dans un plan repéré ? C’est une droite dont le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine sont des nombres rationnels, tout simplement. Bien sûr, les paramètres sont rarement irrationnels et la quasi-totalité des droites que l’on trace en cours de maths ou parfois dans la vie professionnelle le sont. La qualification de droite rationnelle est donc rarement employée ! Sauf dans le sujet du bac S spé maths de juin 2016 en métropole. Ne vous y trompez pas, cette page ne traite pas de propriétés de droites particulières mais bien d’arithmétique.
Sujet
- Pour tout couple d’entiers relatifs non nuls \((a, b),\) on note pgcd\((a, b)\) le plus grand diviseur commun de \(a\) et \(b.\)
Le plan est muni d’un repère\((O\,;\overrightarrow i ,\overrightarrow j ).\)
- 1. Exemple. Soit la droite \(\Delta_1\) d’équation \(y = \frac{5}{4}x - \frac{2}{3}\)
- a. Montrer que si \((x, y)\) est un couple d’entiers relatifs alors l’entier \(15x - 12y\) est divisible par 3.
b. Existe-t-il au moins un point de la droite \(Δ_1\) dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.
- 2. Généralisation
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On considère désormais une droite \(\Delta\) d’équation (E) : \(y = \frac{m}{x}x - \frac{p}{q}\) où \(m,\) \(n \), \(p\) et \(q\) sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd\((m,n)\) \(=\) pgcd\((p,q)\) \(=\) \(1.\)
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Ainsi, les coefficients de l’équation (E) sont des fractions irréductibles et on dit que \(Δ\) est une droite rationnelle.
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Le but de l’exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur \(m,\) \(n,\) \(p\) et \(q\) pour qu’une droite rationnelle \(Δ\) comporte au moins un point dont les coordonnées \((x_0,y_0)\) où \(x_0\) et \(y_0\) sont des entiers relatifs.
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a. En remarquant que le nombre \(ny_0 - mx_0\) est un entier relatif, démontrer que \(q\) divise le produit \(np.\)
b. En déduire que \(q\) divise \(n.\)
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3. Réciproquement, on suppose que \(q\) divise \(n\) et on souhaite trouver un couple \((x_0, y_0)\) d’entiers relatifs tels que \(y_0 = \frac{m}{n}x_0 - \frac{p}{q}\)
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a. On pose \(n = qr,\) où r est un entier relatif non nul. Démontrer qu’on peut trouver deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que \(qru - mv = 1.\)
b. En déduire qu’il existe un couple \((x_0, y_0)\) d’entiers relatifs tels que \(y_0 = \frac{m}{n}x_0 - \frac{p}{q}\)
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4. Soit \(Δ\) la droite d’équation \(y = \frac{3}{8}x - \frac{7}{4}.\) Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier.
Une cinquième question n’est pas traitée ici (algorithme).
Corrigé commenté
1. a. L’exercice commence par une question particulièrement simple ! En effet, \(15x - 12y\) \(=\) \(3(5x - 4y).\)
Comme \(x\) et \(y\) sont des entiers, \(5x\) et \(4y\) le sont aussi et leur différence également. Par conséquent, l’entier \(15x - 12y\) est divisible par 3.
b. La technique consiste à d’abord transformer l’équation de cette droite de façon à n’avoir que des paramètres entiers en l’un de ses points de coordonnées \((x_0, y_0),\) puis de vérifier que \(x_0\) et \(y_0\) sont bien des entiers.
\(y_0 = \frac{15}{12}x_0 - \frac{8}{12}\)
Multiplions les deux membres par 12. Donc \(12y_0 = 15x_0 - 8\) et par conséquent \(15x_0 - 12y_0 = 8.\)
Utilisons le résultat de la question précédente. \(15x_0 - 12y_0\) est divisible par 3. Mais 8 n’est pas un multiple de 3. Ce qui est fort regrettable : la droite \(Δ_1\) ne possède aucun point de coordonnées entières.
2. a. Il est enfantin de remarquer que \(ny_0 - mx_0\) est un entier relatif : comme \(n,\) \(m,\) \(x_0\) et \(y_0\) sont des entiers, alors les produits \(ny_0\) et \(mx_0\) sont des entiers et leur différence est un entier également.
Transformons l’équation de la droite de la même façon que nous l’avions fait avec l’exemple chiffré.
\(nqy_0 = qmx_0 - pn\)
Comme le suggère la première partie de la question, faisons apparaître \(ny_0 - mx_0.\) Facile. Il suffit de factoriser par \(q.\)
\(q(ny_0 - mx_0) = -pn\)
Par conséquent \(pn\) est le produit d’un entier relatif par \(q\) et \(q\) divise \(np.\)
b. Nous savons que \(q\) divise \(np\) et que \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux. Donc, d’après le théorème de Gauss, \(q\) divise \(n.\)
3. a. Nous savons que \(n\) et \(m\) sont premiers entre eux. Or, selon le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs \(u\) et \(v'\) tels que \(nu + mv' = 1.\)
Soit \(n = qr.\) Nous obtenons \(qru + mv' = 1.\)
Comme \(v'\) est un entier relatif, l’égalité reste vraie si l’on prend son opposé \(v.\)
Ainsi, \(qru - mv = 1.\) Il existe bien deux entiers \(u\) et \(v\) qui vérifient cette égalité.
b. Nous avons vu à la question 2.a que cette égalité pouvait s’écrire \(q(ny_0 - mx_0) = -pn.\)
Si l’énoncé nous a introduit l’entier \(r,\) on se doute bien qu’il nous faudra l’employer.
\(q(ny_0 - mx_0) = -pqr\)
\(⇔ ny_0 - mx_0 = -pr\)
\(⇔ qry_0 - mx_0 = -pr\)
C’est là le passage le plus délicat du sujet. Comme le suggère l’énoncé, réinvestissons le résultat que nous venons d’obtenir.
\(qru - mv = 1\)
L’idée est de multiplier les deux membres de cette égalité par \(-pr\) afin de se « rapprocher » de l’égalité précédente.
\(-qrupr + mvpr = pr\)
Ainsi, par identification, on remarque que \(x_0 = -vpr\) et \(y_0 = -upr.\)
Il y a bien un couple de solutions à notre équation. Soit \(x_0 = -vpr\) et \(y_0 = -upr.\)
4. Soit \(m = 3,\) \(n = 8,\) \(p = 7\) et \(q = 4.\) Nous remarquons que pgcd\((m, n)\) \(=\) pgcd\((p, q)\) \(=\) \(1\) et que \(n\) est un multiple de \(q.\) Soit \(n = qr\) avec \(r = 2.\)
D’après la question précédente, cette droite possède bien au moins un point dont les coordonnées sont entières. Le sujet ne demandait pas d’en fournir un exemple mais ne boudons pas notre plaisir. Par exemple si l’on choisit \(u = 2,\) alors \(qr × 1 - mv = 1,\) donc \(16 - 3v = 1,\) d’où \(v = 5.\)
Donc un point \(A\) de \(Δ\) a pour coordonnées \(x_A = -5 × 7 × 2 = -70\) et \(y_A = -2 × 7 × 2 = -28.\)
\(A(-70\,;-28)\) appartient à \(Δ.\)
