La résolution d'équations diophantiennes

Exercices sur les équations diophantiennes

Diophante d’Alexandrie était un mathématicien grec. Il a vécu… on ne sait pas quand ! Mais on sait qu'il s’est intéressé aux équations du second degré avec nombres rationnels (les Grecs n’éprouvant aucune sympathie pour les irrationnels). C’est en son honneur que l’on a nommé ce type d’équations « diophantiennes ».

On apprend à les résoudre dans tout cours d’arithmétique qui se respecte. On utilise pour cela les théorèmes de Bézout et de Gauss qui ont vécu… très longtemps après Diophante ! Si vous vous interrogez sur cette anomalie, il vous faut connaître le principe d’Arnold selon lequel une notion mathématique qui porte le nom d’un mathématicien ne porte jamais celui de son inventeur ! Mais si, les maths sont logiques, puisqu’on vous le dit…

Voici deux exercices extraits d’épreuves du bac portant sur ces équations.

 

Exercice 1

Cet exercice est extrait d’une épreuve du bac S spé maths (centres étrangers, 11 juin 2018).

Dans cette question, on considère l’équation \((E)\) \(23x - 40y = 1\), dont les solutions sont des couples \((x\,;\,y)\) d’entiers relatifs.

a. Justifier le fait que l’équation \((E)\) admet au moins un couple solution.
b. Donner un couple, solution particulière de l’équation \((E)\).
c. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs solutions de l’équation \((E)\).
d. En déduire qu’il existe un unique entier \(d\) vérifiant les conditions \(0 \le d < 40\) et \(23d \equiv 1\bmod 40\).

 

Corrigé 1

a- Les nombres 23 et 40 sont premiers entre eux (leur PGCD est égal à 1). Selon le théorème de Bézout, l’équation \(23x - 40y = 1\) admet au moins un couple d’entiers relatifs solution.

b- Procédons à l’algorithme d’Euclide.

\(40 = 1 \times 23 + 17\) (donc \(17 = 40 - 23\))
\(23 = 1 \times 17 + 6\) (donc \(6 = 23 - 17\), donc \(6 = 23 - (40 - 23)\) \( = - 40 + 2 \times 23\))
\(17 = 2 \times 6 + 5\) (donc \(5 = 17 - 2 \times 6\), donc \(5 = 40 - 23 - 2(-40 + 2\times 23)\), donc \(5 = 3 \times 40 - 5 \times 23)\))
\(6 = 1 \times 5 + 1\) (donc \(1 = 6 - 5\), donc \(1 = - 40 + 2 \times 23 - (3 \times 40 - 5 \times 23)\), donc \(1 = - 4 \times 40 + 7 \times 23\))

Le couple \((7\,;\,4)\) est solution de l’équation \((E)\).

Si le processus ne vous semble pas clair, un tableau récapitulatif en couleurs devrait vous aider…

c- À partir de \((E)\) nous soustrayons les solutions particulières que nous avons trouvées.

\(23x - (7 \times 23) - 40y - (40 \times 4) = 1 - 1\)
\( \Leftrightarrow 23(x - 7) - 40(y - 4) = 0\)
\( \Leftrightarrow 23(x - 7) = 40(y - 4)\) donc 23 divise \(40 (y - 4)\). Comme 23 et 40 sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss 23 divise \((y - 4)\). Donc \(y = 4 + 23k\) \((k \in \mathbb{Z})\).

La même procédure nous conduit à écrire \(x = 7 + 40k\).

L’équation \(23x - 40y = 1\) devient :

\(23(7 + 40k ) - 40 (4 + 23k) = 1\)
\(161 + 23 \times 40k - 160 - 40 \times 23k = 1\). L’égalité est vérifiée.

L’ensemble des solutions de \((E)\) est donc \(S = \left\{ {(7 + 40k\,;\,4 + 23k)} \right\}\) avec \(k \in \mathbb{Z})\).

d- \(23d \equiv 1\bmod 40\) peut s’écrire \(23d = 1 + 40y\) \((y \in \mathbb{Z})\)

Donc \(23d - 40y = 1\).

D’après la question précédente, \(d = 7 + 40k\) \((k \in \mathbb{Z})\) et pour que \(d\) soit compris entre 0 et 40, il doit être égal à 7 (unique solution obtenue avec \(k = 0\)).

 

Exercice 2

Cet exercice est extrait de l’épreuve du bac S spé maths de septembre 2017 (métropole).

L’objectif de cette partie est l’étude des points à coordonnées entières du plan \(\mathscr{P}\) ayant pour équation cartésienne : \(10x + 15y + 6z = 73\).

Soit \(M(x\,;\,y\,;\,z)\) un point appartenant au plan \(\mathscr{P}\) et au plan d’équation \(z=3\). On suppose que les coordonnées \(x\), \(y\) et \(z\) appartiennent à l’ensemble \(\mathbb{Z}\) des entiers relatifs.

a-  Montrer que les entiers \(x\) et \(y\) sont solutions de l’équation \((E)\) : \(2x + 3y = 11\).
b- Justifier que le couple \((7\,;\, -1)\) est une solution particulière de \((E)\) puis résoudre l’équation \((E)\) pour \(x\) et \(y\) appartenant à \(\mathbb{Z}\).
c- Montrer qu’il existe exactement deux points appartenant au plan \(\mathscr{P}\) et au plan d’équation \(z=3\) et dont les coordonnées appartiennent à l’ensemble \(\mathbb{N}\) des entiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces deux points.

 

Corrigé 2

a- Si \(z = 3\) alors \(10x + 15y + 18 = 73\)
\( \Leftrightarrow 10x + 15y = 55\)
\( \Leftrightarrow 2x + 3y = 11\) (difficile de trouver une question plus simple !)

b- \(2 \times 7 + 3 \times ( - 1) = 14 - 3 = 11\), donc le couple \((7\,;\, -1)\) est solution de \((E)\) (eh bien si, il y avait encore plus facile !)

On soustrait les deux égalités membre à membre (là, ce n’est pas difficile mais il faut connaître la procédure, déjà montrée dans l'exercice précédent).

\(\begin{array}{l}
2x - 14 + 3y + 3 = 11 - 11\\
\Leftrightarrow 2(x - 7) = - 3(y + 1) = 0\\
\Leftrightarrow 2(x - 7) = - 3(y + 1)
\end{array}\)

On conclut de cette égalité que 2 divise \(-3(y + 1)\) et que 3 divise \(2(x - 7)\). Or, d’après le théorème de Gauss, 2 et 3 étant premiers entre eux, 2 divise \((y + 1)\) et 3 divise \((x - 7)\).

Donc \(-y - 1 = 2k\) et \(x - 7 = 3k\) (avec \(\mathbb{Z}\). Soit \(y = -2k - 1\) et \(x = 7 + 3k\)

Reprenons l’égalité de la question a. : \(2x + 3y = 11\)
\(2(7 + 3k) + 3(-2k - 1) = 11\)
\(14 + 6k - 6k - 3 = 11\). L’égalité est vérifiée. Le couple \((x\,;\,y)\) est solution de \((E)\).

c- Il faut chercher \(k\) tel que \(7 + 3k \in \mathbb{N}\) et \(-2k - 1 \in \mathbb{N}\).

D’où \(k \ge - \frac{7}{3}\) et \(k \le - \frac{1}{2}\). Il n’existe que deux entiers relatifs qui satisfont à cette condition : -1 et -2.

Si \(k = -2\), \(x = 7 + (-2) \times 3 = 1\) et \(y = -2(-2) - 1 = 3\)
Si \(k = -1\), \(x = 7 + (-1) \times 3 = 4\) et \(y = -2(-1) - 1 = 1\)

Les coordonnées des deux points solutions sont \((1\,;\,3)\) et \((4\,;\,1)\).