Vecteurs directeurs d'une droite
Voici une page qui donne tout son sens à un mot issu du latin vector (celui qui véhicule ou qui est véhiculé), que l'on trouve aussi bien dans le mot « voiture » que dans l'expression « vecteur de maladie ». Mais ne craignez aucune contamination, attachez juste votre ceinture.
Le concept du vecteur directeur est simple à se représenter mentalement. Lorsqu’il est situé dans le plan, il est abordé en classe de seconde. La transposition dans l’espace ou dans \(\mathbb{R}^n\) ne pose pas d'autre difficulté qu'un petit problème... visuel.
Dans le plan
(Programme de seconde)
Un vecteur est caractérisé par une direction, une longueur (norme) et un sens. Deux vecteurs colinéaires ont une même direction mais pas nécessairement la même longueur ni le même sens. Dans le plan, ils sont représentés par deux flèches parallèles, voire confondues.
Dans un plan muni d'un repère, une droite peut être décrite par une équation réduite de type \(y = ax + b\) ou une équation cartésienne de type \(\alpha x + \beta y + \delta = 0\) (voir page fonctions affines). Mais elle peut aussi l’être d’une autre façon : par l’un quelconque de ses points et par sa direction, donc un vecteur qui a la même « inclinaison » qu’elle.
Ces vecteurs sont dits directeurs à la droite.
L’exemple le plus simple est celui d’un repère \(( {O\,;\overrightarrow i ,\overrightarrow j }) \) où l’axe des abscisses peut être défini par l’origine \(O\) et son vecteur directeur \({\overrightarrow i }\) tandis que l’axe des ordonnées l'est par \(O\) et par \({\overrightarrow j }\).
Il est facile de déterminer un vecteur directeur. Si la droite est écrite sous forme réduite (soit \(y = ax + b\)), le vecteur \(\overrightarrow u (1\,;a)\) fait l’affaire. Si son équation apparaît sous forme cartésienne, on prend \(\overrightarrow u ( - \beta \,;\alpha )\) ou \(\overrightarrow u ( \beta \, ;- \alpha )\).
Si cette droite passe par un point \(A\), on peut alors l’écrire \({D_{(A\,;\overrightarrow u )}}\).
On dit aussi qu’une droite est le support d’un vecteur.
Précision : il est évident que le vecteur nul n’aura jamais le privilège d’être un vecteur directeur.
Exercice
Soit un plan muni d'un repère et \((D)\) la droite d’équation \( - (3 - m)x + {m^2}y - 1 = 0\) qui passe par le point \(A(2\,;5)\), \(m\) étant un entier naturel. Trouver \(m\) et un vecteur directeur de \((D)\)).
On remplace d'abord \(x\) et \(y\) par les coordonnées de \(A\) afin d’obtenir une seule équation à une inconnue.
\( - 2(3 - m) + 5{m^2} - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 5{m^2} + 2m - 7 = 0\)
Calculons le discriminant. Il est égal à 144. L’équation admet deux solutions (1 et -1,4) dont une seule est un entier naturel. Donc \(m = 1\) et l’équation de \((D)\) est \(-2x + y - 1 = 0\).
En utilisant la formule vue plus haut, nous déterminons un vecteur directeur de la droite \((D)\) : (1 ; 2). Bien sûr, les vecteurs qui lui sont colinéaires sont aussi des vecteurs directeurs de \((D)\) : (2 ; 4), (-1 ; -2), etc.
Note : c'est avec l'étude des produits scalaires que la notion de vecteur directeur montre toute son utilité, notamment pour démontrer que des droites sont perpendiculaires (voir par exemple les exercices sur l'orthogonalité en géométrie analytique).
Dans l’espace
(Programme de terminale générale)
Dans un espace en trois dimensions muni d'un repère, on peut définir une droite par un système de deux équations cartésiennes de plans. Une autre façon est de partir de l’un de ses points et de l’un de ses vecteurs directeurs.
Soit un point \(A\) de la droite dont les coordonnées sont \(({x_A}\,;{y_A}\,;{z_A})\) et soit \(t\) un réel. Un vecteur directeur de la droite est \(\overrightarrow u (a\,;b\,;c)\). On a le système suivant, dit représentation paramétrique d’une droite dans l’espace :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} x = at + {x_A}\\ y = bt + {y_A} \end{array}\\ {z = ct + {z_A}} \end{array}} \right.\)
En isolant \(t\), on obtient l’égalité suivante :
\[\frac{{x - {x_A}}}{a} = \frac{{y - {y_A}}}{b} = \frac{{z - {z_A}}}{c} = t\]
Réciproquement, comment trouver un vecteur directeur ? Le plus simple est de relever deux points de la droite. La détermination du vecteur qui les relie est alors particulièrement facile puisqu’elle consiste ni plus ni moins en une triple soustraction.
Par exemple, si une droite passe par les points de coordonnées \((0\,;1\,;\,3)\) et \((2\,;2\,;0),\) un vecteur directeur est \(\overrightarrow u ( - 2\,; - 1\,;3)\).
Exercice
Question 1 : soit \((D)\) la droite de représentation paramétrique :
\(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3\lambda \\ y = - 1 + 3\lambda \\ z = 5\lambda \end{array} \right.\)
Donner les coordonnées d’un point de \((D)\) puis déterminer une représentation paramétrique de \((D')\) parallèle à \((D)\) passant par le point \(A(1\,;2\,;3)\).
Question 2 : Soit \(\mathscr{P}\) le plan d’équation \(x + y - 2z + 2 = 0\). Déterminer une représentation paramétrique de \((D'')\) perpendiculaire à \(\mathscr{P}\) et passant par le point \(B(0\,;1\,;4)\).
Corrigé
Question 1 : un point de \((D)\) a pour coordonnées \((2\,;-1\,;0)\) et un vecteur directeur \((3\,;3\,;5).\) Une droite passant par \(A\) et ayant le même vecteur directeur a pour représentation paramétrique :
\(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 3\lambda \\ y = 2 + 3\lambda \\ z = 3 + 5\lambda \end{array} \right.\)
Question 2 : un vecteur normal à \(\mathscr{P}\) a pour équation (1 ; 1 ; -2). Donc une représentation paramétrique de \((D'')\) est…
\(\left\{ \begin{array}{l} x = \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 4 - 2\lambda \end{array} \right.\)
Voir aussi l'exercice de la page qui traite du plan et le problème dans l'espace repéré.
Au-delà de 3D, l’analyse des données
Le vecteur directeur n’est plus un sujet d’étude en soi après la classe de terminale, même s’il reste présent de façon plus ou moins implicite dans les cours d’algèbre linéaire et d’analyse des données.
Une droite apparaît alors comme un sous-espace affine généré par un vecteur (ce qui est plus valorisant pour elle que d’être une simple ligne droite…).
Les analyses factorielles consistent à déterminer des vecteurs propres qui sont les vecteurs directeurs des axes factoriels.