Exercices de configuration dans l'espace
Cette page a été rédigée à l’attention des élèves de terminale générale, maths de spécialité. Elle reprend quatre types de configurations dans l'espace. Ensuite, vous pouvez attaquer le problème de géométrie dans l'espace.
Méthodes
- À votre entrée en terminale, vous saviez déjà montrer qu’un point appartient à une droite (ou que trois points sont alignés, ce qui revient au même). Ainsi, le point \(A\) appartient à la droite \((BC)\) si les vecteurs \(\overrightarrow {AB} \) et \(\overrightarrow {AC} \) sont colinéaires.
- Pour montrer l’appartenance d’un point \(A\) à un plan, on a besoin de deux informations. D’une part connaître un point \(B\) de ce plan. D’autre part connaître les coordonnées de deux vecteurs \(\overrightarrow {u} \) et \(\overrightarrow {v} \) qui le définissent. Si le vecteur \(\overrightarrow {AB} \) peut s’exprimer comme une combinaison linéaire de \(\overrightarrow {u} \) et de \(\overrightarrow {v} \) alors \(A\) appartient au plan.
- Pour montrer qu’un vecteur appartient à la direction d’une droite, on détermine qu’il est colinéaire à un vecteur directeur de cette droite.
- Pour prouver qu’un vecteur appartient à la direction d’un plan, on montre qu’il est combinaison linéaire de deux vecteurs directeurs du plan.
Ces quatre situations font l’objet des quatre exercices corrigés ci-dessous.
Exercice 1 : appartenance à une droite
Cet exercice, au demeurant très facile, est extrait de l’épreuve du bac S, Pondichéry, mars 2005.
L’espace \(E\) est rapporté à un repère orthonormal \((O\,;\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k ).\) On considère les points \(A,\) \(B\) et \(C\) de coordonnées respectives \((1\, ;0\, ;2),\) \((1\, ;1\, ;4)\) et \((-1\, ;1\, ;1).\)
Montrer que les points \(A,\) \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
Corrigé
Les coordonnées des points permettent de calculer celles des vecteurs.
\[\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
1\\
2
\end{array}} \right), \overrightarrow {AC} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-2\\
1\\
-1
\end{array}} \right)\]
Il est évident que ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Par conséquent, les points \(A,\) \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
Exercice 2 : points coplanaires
Soit \(ABCD\) un tétraèdre (il est souvent question de tétraèdre dans ce type d’exercice). Soit \(M\) le milieu de \([AB].\)
\(\overrightarrow {AE} = \frac{13}{4}\overrightarrow {AM} + \frac{1}{4}\overrightarrow {MD} - \frac{1}{4}\overrightarrow {CD} \)
Le point \(E\) appartient-il au plan \((ABC)\) ?
Corrigé
\( 4\overrightarrow {AE} = 13 \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} \)
\(⇔ 4\overrightarrow {AE} = 13 \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MC} \)
\(⇔ 4\overrightarrow {AE} = 12 \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MC} \) (relation de Chasles)
\(⇔ 4\overrightarrow {AE} = 12 × (0,5 \overrightarrow {AB}) + \overrightarrow {AC}\)
\(⇔ 4\overrightarrow {AE} = 6 \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}\)
\(⇔ \overrightarrow {AE} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC}\)
Le vecteur \(\overrightarrow {AE}\) est une combinaison linéaire des vecteurs \(\overrightarrow {AB}\) et \(\overrightarrow {BC}.\) Par conséquent, \(E\) appartient au plan \((ABC)\).
Exercice 3 : appartenance d’un vecteur à la direction d’une droite
Soit \(ABCD\) un tétraèdre (oui, encore un). \(X\) est le milieu de \([AC]\) et \(Y\) est le milieu de \([BC].\)
Montrer que le vecteur \(\overrightarrow {XY}\) appartient à la direction de la droite \((AB).\)
Corrigé
\(\overrightarrow {XY}\) appartient à la direction de la droite \((AB)\) s’il est colinéaire au vecteur \(\overrightarrow {AB}.\)
\(\overrightarrow {XY} = \overrightarrow {XA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BY}\) (relation de Chasles)
\(⇔ \overrightarrow {XY} = \frac{1}{2} \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}\)
\(⇔ \overrightarrow {XY} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC}) + \overrightarrow {AB}\)
\(⇔ \overrightarrow {XY} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB})\)
\(⇔ \overrightarrow {XY} = -\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB})\)
\(⇔ \overrightarrow {XY} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}\)
Les vecteurs \(\overrightarrow {XY}\) et \(\overrightarrow {AB}\) sont colinéaires. Donc \(\overrightarrow {XY}\) appartient à la direction de la droite \((AB).\)
Nous avons résolu un exercice dans le plan déguisé en exercice 3D !
Exercice 4 : appartenance d’un vecteur à la direction d’un plan
Soit le cube \(ABCDEFGH.\) Soit \(X\) le milieu de \([AE]\) et \(Y\) le milieu de \([CG].\) Représentation :
Montrer que le vecteur \(\overrightarrow {XY}\) appartient à la direction du plan \(ABC).\)
Corrigé 4
Nous devons montrer que le vecteur \(\overrightarrow {XY}\) peut s’exprimer en fonction des vecteurs \(\overrightarrow {AB}\) et \(\overrightarrow {BC}.\)
Par la relation de Chasles nous pouvons écrire :
\(\overrightarrow {XY} = \overrightarrow {XA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CY}\)
Or \(\overrightarrow {XA} = \frac{1}{2} \overrightarrow {EA}\) et \(\overrightarrow {YC} = \frac{1}{2} \overrightarrow {GC}.\)
Comme \(ABCDEFGH\) est un cube, \(\overrightarrow {EA} = \overrightarrow {GC}.\) Donc \(\overrightarrow {YC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {EA}\) (ou \(\overrightarrow {CY} = -\frac{1}{2}\overrightarrow {EA}\))
Reprenons notre relation de Chasles.
\(\overrightarrow {XY} = \overrightarrow {XA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CY}\)
\(⇔ \overrightarrow {XY} = \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {EA}\)
\(⇔ \overrightarrow {XY} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC}\)
Le vecteur \(\overrightarrow {XY}\) appartient bien à la direction du plan \((ABC).\)