Exercice sur suite arithmético-géométrique
Dans les lycées français, l’étude des suites arithmético-géométriques fait partie du programme de maths de la terminale générale (maths complémentaires).
Nous vous présentons ci-dessous un exercice tiré d'une épreuve du bac ES de 2010 (centres étrangers), spécialité maths (à l’époque, les suites n’étaient enseignées qu’en spécialité mais ce type de problème a été ensuite un classique des sujets de bac). Aujourd'hui, nous ne pouvons qu’encourager les élèves de terminale à ne pas considérer cet exercice comme une fouille archéologique et à le résoudre grâce au secours d’une suite géométrique, bien qu’ils trouveront l’énoncé un peu trop directif…
Énoncé
- Le nombre d’arbres d’une forêt, en milliers d’unités, est modélisé par la suite \((u_n)\) où \(u_n\) désigne le nombre d’arbres, en milliers, au cours de l’année (2010 + n). En 2010, la forêt possède 50 000 arbres. Afin d’entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d’entretien des forêts décide d’abattre chaque année \(5\%\) des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.
- 1- Montrer que la situation peut être modélisée par \(u_0 = 50\) et pour tout entier naturel \(n\) par la relation : \(u_{n+1} = 0,95u_n + 3.\)
- 2- On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n = 60 - u_n\)
- a) Montrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison 0,95.
- b) Calculer \(v_0.\) Déterminer l’expression de \(v_n\) en fonction de \(n.\)
- c) Démontrer que pour tout entier naturel \(n,\) \(u_n = 60 - 10 \times (0,95)^n.\)
- 3- Déterminer le nombre d’arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée arrondie à l’unité.
- 4- a) Vérifier que pour tout entier naturel \(n,\) on a l’égalité :
-
\(u_{n+1} - u_n\) \(=\) \(\displaystyle{0,5 \times (0,95)^n}\)
- b) En déduire la monotonie de la suite.
- 5- Déterminer l’année à partir de laquelle le nombre d’arbres de la forêt aura dépassé de \(10\%\) le nombre d’arbres de la forêt en 2010.
- 6- Déterminer la limite de la suite \((u_n).\) Interpréter.
Corrigé et explications
1- En 2010, 50 milliers d’arbres passent leur existence dans la forêt. Par conséquent, nous avons bien \(u_0 = 50.\)
Lorsque \(5\%\) des arbres sont lâchement abattus au cours d’une année, combien en reste-il ?
\(u_n \times \left( 1 - \frac{5}{100} \right) = 0,95u_n\)
En effet, 0,95 est le coefficient multiplicateur qui correspond à \(-5\%.\) Par ailleurs, on replante 3 milliers d’arbres chaque année. Donc \(u_{n+1} = 0,95u_n + 3.\)
2- a) Dans ce type de situation, la procédure est toujours la même : il faut exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(u_{n+1},\) puis de \(u_n,\) puis de \(v_n.\) La démarche est simple car c’est un enchaînement de copier-coller, avec toutefois une factorisation un peu périlleuse…
\(v_{n+1} = 60 - u_{n+1}\)
\( \Leftrightarrow v_{n+1} = 60 - (0,95u_n + 3)\)
\( \Leftrightarrow v_{n+1} = 57 - 0,95u_n\)
\( \Leftrightarrow v_{n+1} = 0,95(60 - u_n)\)
\( \Leftrightarrow v_{n+1} = 0,95v_n\)
Donc \((v_n)\) est une suite géométrique de raison 0,95.
b) Question facile : \(v_0\) \(=\) \(60 - u_0\) \(=\) \(60 - 50\) \(=\) \(10.\)
Le énième terme d’une suite géométrique s’exprime comme le premier terme multiplié par la raison à la puissance \(n.\) Donc \(v_n = 10 × 0,95^n.\)
c) Là encore, il s’agit d’un simple copier-coller. Nous savons que \(u_n = 60 - v_n,\) donc \(u_n = 60 -10(0,95)^n.\)
3- Le nombre d’arbres en 2015 est donné par \(u_5.\) En utilisant la formule précédente, on obtient \(u_5 = 52,262,\) soit 52 262 arbres.
4- a) Vérifions...
\(u_{n+1} - u_n = 60 - 10(0,95)^{n+1} - 60 + 10(0,95)^n\)
\( \Leftrightarrow u_{n+1} - u_n = 10 × (0,95)^n\,(-0,95 + 1)\)
\( \Leftrightarrow u_{n+1} - u_n = 0,5 × 0,95^n\)
b) \(n\) étant un entier naturel, \(0,5 × 0,95^n > 0,\) donc \(u_{n+1} > u_n\) ce qui implique que \((u_n)\) est une suite strictement croissante.
5- À partir de quelle année le nombre d’arbres aura dépassé 50 000 majoré de \(10\%,\) c’est-à-dire quand \(u_n\) sera supérieur à 55 ?
On pose \(u_n \geqslant 55.\) Pour résoudre une inéquation, il faut bien sûr retrouver l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) (question 2-c).
\(60 - 10(0,95)^n \geqslant 55\)
\( \Leftrightarrow 10 (0,95)^n \leqslant 5\)
\( \Leftrightarrow 0,95^n \leqslant 0,5\)
Lorsque l’inconnue est une puissance, on appelle à l’aide les logarithmes…
\(\ln(0,95^n)\leqslant \ln 0,5\)
\( \Leftrightarrow n \ln 0,95 \leqslant \ln 0,5\)
Attention, \(\ln 0,95\) étant un nombre négatif, le sens de l’inégalité change…
\(\displaystyle{n \geqslant \frac{\ln 0,5}{\ln 0,95}}\)
Il s’ensuit que \(n \geqslant 13,51\) et comme \(n\) est un entier naturel, \(n = 14.\) C’est donc 14 ans après 2010, soit en 2024, que le nombre d’arbres de la forêt aura dépassé de \(10\%\) celui de 2010.
6- On sait que la limite à l’infini de \(q^n\) est 0 si \(q\) est strictement compris entre 0 et 1. Donc…
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } 60 - (10 \times {0,95^n}) = 60\)
À long terme, la forêt devrait se stabiliser à 60 000 arbres.
