L'indice base 100

Premiers pas avec l'indice simple

Niveau de difficulté de cette page : premières technologiques (voir auparavant les évolutions successives) pour le cours de maths mais aussi première générale pour le cours de SES.

La base 100

L’indice base 100 est un outil bien pratique. Si l’on vous dit qu’une entreprise a fait un bénéfice de 1 250 milliers d’euros il y a deux ans puis 2 500 l’an dernier puis 600 cette année, il peut être difficile de se représenter mentalement l’évolution. Si en plus vous devez la comparer avec les bénéfices de son secteur d’activité qui montre une évolution cette fois en millions d’euros, c’est encore plus compliqué.

C’est pourquoi on ramène cette évolution à un départ de 100 et tout le reste sera rapporté à cette valeur. C’est le même principe que les pourcentages : on rapporte des nombres à une valeur de 100. Si vous comprenez l’utilité d’un pourcentage, vous comprenez l’utilité d’une base 100 : c’est comme un pourcentage qui évolue dans le temps.

En pratique, comment faire ? Là encore, c’est le principe du pourcentage ou, pour exprimer les choses de façon plus globale, un problème de proportionnalité.

Ainsi la valeur de départ (ou éventuellement une autre valeur) devient 100. Supposons que le vrai montant était de 3 500 et que le montant suivant est de 4 200. À combien celui-ci s’établit-il en base 100 ? Il suffit de faire un produit en croix : \(3\,500x\) \(=\) \(4\,200 × 100\) donc \(x = 120.\) Là, on remarque immédiatement que la valeur de départ a gagné \(20\%.\) Et même principe pour les valeurs suivantes…

Ainsi, un indice \(I\) de la grandeur à l’époque 2, base 100 pour l’époque 1 s’écrit ainsi (avec \(y_1\) vraie valeur de l’époque 1 et \(y_2\) vraie valeur de l’époque 2) :

\(\displaystyle{I = 100 \times \frac{y_2}{y_1}}\)

Notez bien que \(y_3,\) \(y_4…\) seront comparés à \(y_1\) et non à \(y_2.\)

Ainsi chaque valeur indice 100 indique le taux d’évolution par rapport à la valeur de départ. Il est donc facile de passer de la base 100 au taux d’évolution et inversement.

Le taux d’évolution s’obtient par la formule \(t = \frac{I - 100}{100}.\)

Exemple

Un office HLM constate que l’année \(n+1 \)les frais d’électricité ont augmenté de \(5\%.\) L’année suivante, l’indice des frais d’électricité est de 99. Quelle est l’évolution entre \(n+1\) et \(n+2\) ?

D’abord, on calcule l’indice en \(n+1.\) Comme l’augmentation est de \(5\%,\) cet indice s’établit à 105. Facile. Ensuite, il descend à 98. Calculons alors le taux d’évolution entre 105 et 99 :

\(t\) \(=\) \(\frac{99 - 105}{105} \times 100\) \(\approx\) \(-5,71\%\)

Entre les années \(n+1\) et \(n+2\) les frais d'électricité ont baissé de \(5,71\%.\)

Exercice

Suite à une campagne de vaccination, on dispose d’une série base 100 sur quatre ans. Mais on ne connaît que pour une seule année le nombre de personnes vaccinées. Il faut retrouver les trois autres.

Ce problème est simple à résoudre mais, dans la réalité, il se traduira tout de même par une incertitude puisque, en raison des arrondis, l’indice base 100 est parfois trop imprécis pour permettre de retrouver une valeur réelle. Mais que ceci ne nous empêche pas d’avancer…

Corrigé

On peut procéder à trois produits en croix ou, plus simplement, chercher le coefficient de proportionnalité (attention, compte tenu de la configuration du tableau, on multiplie la seconde ligne pour obtenir la première).

Nous avons \(\frac{24\,800}{99,1} \approx 250,25.\) Il suffit donc de multiplier chaque indice par ce coefficient (note : il est préférable d'utiliser la forme fractionnaire \(\frac{24\,800}{99,1}\) plutôt que l’arrondi 250,25).

Et avec Excel ?

Sur une feuille de calcul il est préférable de positionner les données en colonnes. Soit par exemple l’évolution de la population mondiale (source : ONU).

Pour rapporter cette évolution à une base 100 en 1950, il faut diviser chaque valeur par 2 525 149 000 et la multiplier par 100. L’extrait de capture d’écran ci-dessous laisse apparaître la formule à entrer puis à cliquer-glisser.

Un gros avantage de la base 100 est de permettre la comparaison sur un même laps de temps avec une autre évolution, comme l’indique ce même tableau complété par l’évolution de la population européenne :

Nous remarquons que la population mondiale a progressé de \(174,43\%\) en soixante ans contre \(+33,93\%\) pour la population européenne. Mais pour apprécier l’intérêt de la base 100, rien ne vaut un graphique…