Démonstrations de propriétés des conjugués
Sur cette page sont démontrées trois propriétés des nombres complexes. Ces démonstrations figurent au programme de terminale, maths expertes. Elles sont établies à partir de la forme algébrique des complexes. Certes, l’opération est un peu laborieuse mais comme la forme exponentielle est enseignée plus tard dans l’année il faut bien se contenter des outils disponibles. Ceci précisé, ces démonstrations n’ont rien de difficile.
Ci-dessous, \(z\) et \(z’\) sont deux nombres complexes et \(n\) un entier.
Conjugué d’un produit
Démontrons que le conjugué d’un produit est égal au produit des conjugués. Vous pouvez d’ailleurs vous y atteler sans vous référer à ce qui suit, la démonstration ne reposant sur aucune subtilité nécessitant des coups de pouce dans l’énoncé.
\(zz’\) \(=\) \((a + ib)(a’ + ib’)\) (par définition)
\(⇔ zz’\) \(=\) \(aa’ + iab’ + ia’b + i^2bb’\)
\(⇔ zz’\) \(=\) \(aa’ + iab’ + ia’b - bb’\) puisque \(i^2 = -1.\)
\(⇔ zz’\) \(=\) \(aa’ - bb’ + i(ab’ + a’b)\)
Donc \(\overline {zz’}\) \(=\) \(aa’ - bb’ -i(ab’ + a’b)\)
Développons à présent le produit des conjugués.
\(\overline {z} \times \overline {z’}\) \(=\) \((a - ib)(a’ - ib’)\)
\(\Leftrightarrow \overline {z} \times \overline {z’}\) \(=\) \(aa’ - ib’a - ia’b + i^2bb\)
\(\Leftrightarrow \overline {z} \times \overline {z’}\) \(=\) \(aa’ - ib’a - ia’b - bb’\)
\(\Leftrightarrow \overline {z} \times \overline {z’}\) \(=\) \(aa’ - bb’ - i(b’a + a’b)\) \(=\) \(\overline {zz’} \)
Exemple :
Déterminons le conjugué de \(z = (2i - 3)(i + 4)\)
\(z = 2i^2 + 8i - 3i - 12\)
\(⇔ z = -2 + 5i - 12\)
\(⇔ z = -14 + 5i\)
\(⇔ \overline {z} = -14 - 5i\)
Conjugué d’un inverse
Démontrons que le conjugué d’un inverse est égal à l’inverse d’un conjugué. Nous supposons bien sûr que \(z ≠ 0.\)
\(\frac{1}{z} = \frac{1}{a + ib}\)
\(⇔ \frac{1}{z} = \frac{a - ib}{(a + ib)(a - ib)}\) (quantités conjuguées)
\(⇔ \frac{1}{z} = \frac{a - ib}{a^2 + b^2}\)
\(⇔ \frac{1}{z} = \frac{a}{a^2 + b^2} - i \frac{b}{a^2 + b^2}\)
Donc le conjugué de l’inverse est égal \(\frac{a}{a^2 + b^2} + i \frac{b}{a^2 + b^2}\)
Développons l’inverse du conjugué.
\(\frac{1}{\overline {z}} = \frac{1}{\overline {a + ib}}\)
\(⇔ \frac{1}{\overline {z}} = \frac{1}{a - ib}\)
\(⇔ \frac{1}{\overline {z}} = \frac{a + ib}{(a - ib)(a + ib)}\)
\(⇔ \frac{1}{\overline {z}} = \frac{a}{a^2 + b^2} + i \frac{b}{a^2 + b^2}\) soit le conjugué de l’inverse.
Conjugué d’une puissance entière
Démontrons à présent que \( \overline {z^n} = (\overline {z})^n\)
Passons rapidement le cas où \(n = 0.\) Nous vérifions que \( \overline {z^0} = (\overline {z})^0 = 1\)
Pour \( \geqslant 1,\) nous raisonnerons par récurrence.
Propriété à démontrer : \(P(n) = \overline {z^n} = (\overline {z})^n\)
Initialisation : au rang 1, nous avons bien \( \overline {z^1} = \overline {z} = (\overline {z})^1\)
Hérédité : \((\overline {z})^{n+1} = (\overline {z})^n × \overline {z}\)
Nous avons vu que le conjugué d’un produit est égal au produit des conjugués.
(\(\overline {z})^n × \overline {z} = \overline {z^n} × \overline {z} = \overline {z^n × z} = \overline {z^{n+1}}\)
Donc \(P(n+1)\) est vraie. Nous vérifions bien que \( \overline {z^n} = (\overline {z})^n.\)
Et si la puissance est négative ?
On considère à présent \( n \leqslant -1.\) Donc \(-n \geqslant 1.\)
Par propriété des puissances, (\(\overline {z})^{-n} = \frac{1}{(\overline {z})^n}\)
D’après ce que nous venons de démontrer, on peut écrire \( \frac{1}{(\overline {z})^{-n}} = \frac {1}{\overline {z^{-n}}}\)
Nous avons aussi démontré que l’inverse d’un conjugué n’est autre que le conjugué de l’inverse.
\(\frac {1}{\overline {z^{-n}}}\) \(=\) \(\overline { \left( \frac{1}{z^{-n}} \right)}\)
Retrouvons notre propriété des puissances :
\(\overline { \left( \frac{1}{z^{-n}} \right)}\) \(=\) \(\overline {z^n}\)
La démonstration est donc faite que (\(\overline {z})^{n}\) \(=\) \(\overline {z^{n}}\) pour \(n > 0.\)
Exemple :
Déterminons le conjugué de \(z = (1 - i)^2.\)
\(\overline { (1 - i)^2} = \overline { (1 - i)}^2\)
\(⇔ \overline {z} = (1 + i)^2\)
\(⇔ \overline {z} = 1 + 2i + i^2\)
\(⇔ \overline {z} = 2i\)
