Exercices sur équation de degré 3 dans \(\mathbb{C}\)
Des exercices sur les équations dans l’ensemble des complexes, ça vous tente ? Le niveau est celui de terminale, maths expertes.
En classe, il est possible qu’en résolvant des équations dans \(\mathbb{C}\) vous trouviez des solutions réelles. Ici, ce genre de facétie n’a pas lieu. Ce sera du sérieux.
Exercices
Énoncé 1
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^3 - 8 = 0.\)
Énoncé 2
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(2z^3 - 3z + 5i = 0.\)
Indication : cherchez une racine évidente imaginaire !
Corrigé 1
L’équation \(z^3 - 8 = 0\) est une grande classique. Nous devons d’abord factoriser l’expression et nous le ferons de deux façons.
Méthode 1 : rappelons qu’un polynôme \(P\) de degré \(3\) peut être factorisé par \(z - a\) si l’on peut écrire \(P(z) = (z - a)Q(z)\) avec \(Q(z)\) polynôme de degré \(2.\) Ici, 2 est une racine évidente.
\((z - 2)(az^2 + bz + c) = 0\)
Développons.
\(az^3 + bz^2 + cz - 2az^2 - 2bz - 2c = 0\)
Identifions.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 1}\\
{b - 2a = 0}\\
{c - 2b = 0}\\
{ - 2c = - 8}
\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 1}\\
{b = 2}\\
{c = 4}
\end{array}} \right.\)
Par conséquent il nous faut résoudre l’équation suivante :
\((z - 2)(z^2 + 2z + 4) = 0\)
Méthode 2 : appliquons directement la formule.
\(z^n - a^n\) \(=\) \((z - a)(z^{n-1} + z^{n-2}a + z^{n-3}a^2 + …+za^{n-2}+ a^{n-1}).\)
Rappelons que 2 est racine évidente.
\(z^3 - 8\) \(=\) \((z - 2)(z^2 + 2z + 2^2)\) ce qui nous amène bien à notre expression factorisée.
Résolvons l’équation \(z^2 + 2z + 4 = 0.\) Le discriminant \(Δ\) est égal à -12.
\(z_1 = \frac{-2 - i\sqrt{12}}{4}\) et \(z_2 = \frac{-2 + i\sqrt{12}}{4}\)
Donc \(z_1 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}\) et \(z_2 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}\)
\(S = \{2\, ; \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}\, ; \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}\}\)
Notez que la factorisation complète du polynôme, qui n’était pas demandée, se présente ainsi :
\((z - 2)(z + 1 - i\sqrt{3})(z + 1 + i\sqrt{3})\)
Corrigé 2
\(2z^3 - 3z + 5i = 0\)
Il apparaît que \(i\) est une racine évidente.
\((z - i)(az^2 + bz + c) = 0\)
Développons.
\(az^3 + bz^2 + cz - iaz^2 - ibz - ic\) \(=\) \(0\)
Identifions.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 2}\\
{b - ia = 0}\\
{c - ib = - 3}\\
{ - ic = 5i}
\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 2}\\
{b = 2i}\\
{c = - 5}
\end{array}} \right.\)
\((z - i)(2z^2 + i2z - 5) = 0\)
Calculons le discriminant du second facteur.
\(\Delta = (2i)^2 - 4 × 2 × (-5) = 36\) soit \(6^2.\)
Les deux racines sont :
\(z_1 = \frac{-2i - 6}{2 × 2}\) et \(z_2 = \frac{-2i + 6}{2 × 2}\)
Donc \(z_1 = - \frac{i + 3}{2}\) et \(z_2 = \frac{-i + 3}{2}\)
\(S = \{i\, ; - \frac{i + 3}{2}\, ; z_2 = \frac{-i + 3}{2}\}\)
