Tables de vérité et système d'équations
Ces exercices de logique sont faciles, quoi que le second soit un peu laborieux. Ils permettent de se familiariser avec les tables de vérité.
Exercice 1
Dresser la table de vérité de la proposition suivante :
\([A \wedge (A \to B)] \to B\)
Exercice 2
On considère quatre propositions \(A,\) \(B,\) \(C\) et \(D.\)
- À l'aide d'une table de vérité, montrer que la proposition \((A \lor B) \wedge (C \lor D)\) est équivalente à la proposition \([A \wedge (C \lor D)] \lor [B \wedge (C \lor D)].\)
- Montrer que la proposition \([A \wedge (C \lor D)]\) est équivalente à la proposition \((A \wedge C) \lor (A \wedge D).\)
- En déduire une nouvelle proposition équivalente à \((A \lor B) \wedge (C \lor D).\)
- En déduire la résolution du système suivant, où \(x\) et \(y\) sont des réels.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {(x-2)(y-3) = 0}\\ {(x-1)(y-4) = 0} \end{array}} \right.\)
Corrigé 1
| \(A\) | \(B\) | \(A \to B\) | \(A \wedge (A \to B)\) | \([A \wedge (A \to B)]\) \(\to B\) |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Corrigé 2
1- Table de vérité des propositions \((A \lor B) \wedge (C \lor D)\) et \([A \wedge (C \lor D)] \lor [B \wedge (C \lor D)].\)
Ces deux propositions sont bien équivalentes.
2- Table de vérité des propositions \([A \wedge (C \lor D)]\) et \((A \wedge C) \lor (A \wedge D).\)
Les deux propositions sont équivalentes.
3- Notre proposition initiale est \((A \lor B) \wedge (C \lor D).\)
La question 1 nous a permis de trouver une proposition équivalente : \([A \wedge (C \lor D)] \lor [B \wedge (C \lor D)].\)
Avec la question 2, nous savons que \(A \wedge (C \lor D)\) est équivalente à \((A \wedge C)\) \(\lor\) \((A \wedge D).\)
Nous en déduisons que \(B \wedge (C \lor D)\) est équivalente à \((B \wedge C)\) \(\lor\) \((B \wedge D).\)
Et par conséquent notre proposition initiale peut s’écrire \((A \wedge C)\) \(\lor\) \((A \wedge D) \) \(\lor\) \((B \wedge C)\) \(\lor\) \((B \wedge D).\)
4- Soit le système :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {(x-2)(y-3) = 0}\\ {(x-1)(y-4) = 0} \end{array}} \right.\)
En d'autres termes, il faut que \(x=2\) ou \(y=3\) et que \(x=1\) ou \(y=4.\)
Traduisons ;
- \(A : x=2\)
- \(B : y=3\)
- \(C : x=1\)
- \(D : y=4\)
Avec les équivalences que nous avons trouvées :
\([(x=2) \lor (y=3)]\) \(\wedge\) \([(x=1) \lor (y=4)]\)
\(\Leftrightarrow [(x=2) \wedge (x=1)]\) \(\lor\) \([(x=2) \wedge (y=4)]\) \(\lor\) \([(y=3) \wedge (x=1)]\) \(\lor\) \([(y=3) \wedge (y=4)].\)
La proposition \([(x=2) \wedge (x=1)]\) est toujours fausse, ainsi que \([(y=3) \wedge (y=4)].\)
Il nous reste :
\([(x=2) \wedge (y=4)]\) \(\lor\) \([(y=3) \wedge (x=1)]\)
Les solutions du système sont donc \(S = \{x = 2\) et \(y = 4\,;\) \(x=1\) et \(y=3\}\)
Certes, ces solutions pouvaient être devinées en jetant un simple coup d’œil au système...
