Théorème d'Al Kashi et calculs d'angles
En classe de première générale et de première technologique, filière STI2D ou STL, on mesure certains angles en radians vers le début ou le milieu de l’année scolaire. Plus tard on aborde le produit scalaire. Avec cet outil extraordinaire, il est désormais possible de revenir aux angles mais cette fois pour des mesures plus… périlleuses.
Rappelons la formule du cosinus et la formule des normes :
\[\overrightarrow u .\overrightarrow v = \| {\overrightarrow u } \| \times \| {\overrightarrow v } \| \times \cos ( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } )\] \[ = \frac{1}{2}\left( {{{\| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \|}^2} - {{\| {\overrightarrow u } \|}^2} - {{\| {\overrightarrow v } \|}^2}} \right)\]
Théorème d’Al Kashi
L’égalité entre ces deux formules permet de déterminer le cosinus des angles d’un triangle \(ABC\) pour lequel on ne connaît que les longueurs des côtés. La démonstration se trouve en page d'exercices sur le produit scalaire.
\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \times AC \times \cos \widehat A\]
C’est le théorème d’Al Kashi, du nom d’un mathématicien perse né vers 1380 à l’orthographe mal établie. On l’appelle aussi loi du cosinus ou théorème de Pythagore généralisé, la propriété bien connue du triangle rectangle apparaissant alors comme un cas particulier.
Exemple :
Soit un triangle \(ABC\) tel que \(AB = 3,\) \(AC = 5\) et \(CB = 7.\) Mesurons les angles au centième de degré.
\({7^2}\) \(= {3^2} + {5^2} - 2 \times 3 \times 5 \times \cos \widehat A\)
Il s’ensuit que \(\cos \widehat A = - \frac{1}{2}\)
Calculons de la même façon \(\cos \widehat B = \frac{{11}}{{14}}\) et \(\cos \widehat C = \frac{{13}}{{14}}.\)
Pour répondre à l’énoncé, il faut que la calculatrice soit en mode degré, puis utiliser la touche Arccos (ou cos-1). On trouve ainsi que les angles mesurent 120° en \(A,\) 38,21° en \(B\) et 21,79° en \(C.\) Prudemment, nous vérifions que leur somme est bien égale à 180°.
Remarquez que si les propriétés du produit scalaire interviennent pour la démonstration, il n’est pas nécessaire de les connaître pour calculer des angles.
Nous avons appliqué le théorème pour connaître la mesure des angles mais on l'utilise aussi pour déterminer la longueur inconnue d'un côté. Dans ce type de problématique, un théorème complémentaire à celui-ci est la loi des sinus (utilisez l'un ou l'autre selon les données de l'énoncé).
Dans un plan orthonormé
Soit les vecteurs \(\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow v \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x'}\\ {y'} \end{array}} \right)\)
Nous savons que \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = xx' + yy'\) (voir page produit scalaire dans un plan repéré).
Si l’on combine ceci avec la formule du cosinus et si l’on se souvient de celle du calcul de distance (programme de seconde), on obtient la formule suivante :
\[\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{xx' + yy'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} \times \sqrt {x{'^2} + y{'^2}} }}\]
Cette formule est donc utilisable lorsqu’on connaît les coordonnées de points dans le plan ou que l’on peut ramener une figure géométrique à un plan (Cf. exercice ci-dessous).
Exemple :
Dans un plan muni d'un repère orthonormé se trouvent les points \(A(1\,;1),\) \(B(3\,;1)\) et \(C(3\,;-1).\) Quel angle forment les vecteurs \(\overrightarrow {AB} \) et \(\overrightarrow {AC} \) (en degrés et radians) ?
Commençons par déterminer les coordonnées des vecteurs :
\(\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{3 - 1}\\
{1 - 1}
\end{array}} \right)\) soit \(\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
0
\end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow {AC} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{3 - 1}\\
{ - 1 - 1}
\end{array}} \right)\) soit \(\overrightarrow {AC} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
{ - 2}
\end{array}} \right)\)
Ainsi \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\) \(= \frac{{(2 \times 2) + (0 \times ( - 2))}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2}} \times \sqrt {{0^2} + {{( - 2)}^2}} }}\) \(= \frac{4}{{\sqrt 8 \times \sqrt 4 }}\) \(= \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Avec la calculatrice, on trouve \({\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = 45^\circ \). En radians, c’est bien sûr \(\frac{\pi }{4}\).
Là encore, l’exemple est simple. Mais les exercices exigent souvent de recourir à une égalité de deux formules de produit scalaire, comme ci-dessous.
Exercice
Soit un rectangle \(ABCD\) tel que \([AB] = 2\) et \([AD] = 4.\) \(I\) est le milieu de \([CD].\) Les droites \((BD)\) et \((AI)\) se croisent en un point \(P.\) Déterminer l’angle formé par \([PI]\) et \([PD].\)
Corrigé
Plan d’attaque : nous pouvons considérer que le cadre de l’exercice est celui de la géométrie analytique, ce qui permet d’attribuer des coordonnées aux points et donc d’utiliser la formule \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = xx' + yy'.\) En outre, comme nous cherchons un angle, nous aurons recours à la formule du cosinus.
Nous avons les deux vecteurs \(\overrightarrow {AI} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 1 \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow {BD} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ { - 2} \end{array}} \right)\).
Le produit scalaire est égal à \((4 \times 4) + (1 × (-2)) = 14\)
Pour utiliser la formule du cosinus, nous devons calculer les distances.
\(AI = \sqrt {{4^2} + {1^2}} = \sqrt {17} \)
\(BD = \sqrt {{4^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {20} \)
Nous pouvons à présent employer la formule du cosinus : \(14 = \sqrt {17} \times \sqrt {20} \times \cos \widehat P\)
Donc \(\cos \widehat P = \frac{{14}}{{\sqrt {17} \times \sqrt {20} }}\) \(\approx 0,759\)
Avec la calculatrice, on trouve un angle de 40,6°.
Résumé de l’exercice :
Voir aussi l'exercice sur le produit scalaire en géométrie.