Les groupes

Notion de groupe en mathématiques

Un groupe évoque spontanément un ensemble d'objets ou de personnes réunies autour d'un même objectif.

En mathématiques, l'idée est assez proche : c’est un ensemble d'objets sur lesquels on peut effectuer une opération et qui possède certaines propriétés permettant de combiner ces objets de manière cohérente.

Cette définition peut sembler très abstraite ! Pourtant, les groupes apparaissent dans des situations aussi diverses que les symétries d'une figure géométrique, la résolution des équations, la physique des particules, la cryptographie ou encore l'informatique. La théorie des groupes constitue ainsi l'un des exemples les plus importants de ce que l'on appelle une structure mathématique.

Historique

Cette théorie s'est surtout développée au dix-neuvième siècle, dans le contexte de la recherche de méthodes générales pour résoudre les équations polynomiales.

Depuis l'Antiquité, les mathématiciens savaient résoudre des équations simples. Celles du second degré, par exemple, possèdent une formule générale. Pour celles du troisième et du quatrième degré, des méthodes furent progressivement découvertes à partir du seizième siècle. Une question restait cependant ouverte : existe-t-il une formule générale permettant de résoudre toute équation polynomiale ?

Le mathématicien norvégien Niels Henrik Abel (1802-1829) démontra en 1824 qu'il n'existait pas de formule utilisant uniquement des opérations arithmétiques et des extractions de racines pour les équations polynomiales de degré supérieur ou égal à cinq.

Quelques années plus tard, le Français Évariste Galois (1811-1832) alla beaucoup plus loin. Il développa, dans sa recherche sur les équations algébriques, une méthode permettant de déterminer si une équation donnée pouvait être résolue par radicaux.

Il affirmait que c’était les propriétés des racines (…) qui faisaient qu’une équation était résoluble. C’est à partir de ce changement de point de vue qu’est née celle que l’on appelle la « théorie de Galois », mise au point des années après la mort du mathématicien à partir des notions de groupe et de corps. Cette théorie (…) a influencé diverses branches des mathématiques et de la physique. Elle a même réussi à se frayer un chemin jusqu’à nos poches puisque des systèmes de chiffrage présents dans nos téléphones portables ont ainsi été mis au point à partir de la théorie de Galois ! (F. Corbalan, Galois, l’invention de la théorie des groupes, RBA coll. Génies des mathématiques, 2018).

Bien que ces deux mathématiciens soient décédés très jeunes, il n’est pas prouvé que l’étude des structures mathématiques porte malheur. Vous pouvez donc sans crainte poursuivre la lecture de ce texte.

Définition

Un groupe est un ensemble \(E\) muni d'une opération, souvent notée \(\star\), qui permet de combiner deux éléments de \(E\). Pour que \(E\) soit un groupe, quatre propriétés doivent être vérifiées.

• D'abord, l'opération doit être interne : si \(a\) et \(b\) appartiennent à \(E\), alors \(a \star b\) appartient aussi à \(E\).


• Ensuite, l'opération doit être associative : \( (ab)c=a(bc).\)


• Il doit exister un élément neutre, c'est-à-dire un élément \(e\) tel que \(ea=ae=a.\)


• Enfin, chaque élément doit posséder un inverse. Pour tout \(a,\) il existe donc un élément \(a^{-1}\) tel que \(a \star a^{-1}=a^{-1} \star a=e.\)

Ces quatre conditions constituent la définition d'un groupe. La commutativité n'est pas obligatoire. Lorsqu'elle est vérifiée, on parle de groupe abélien, en hommage à Niels Henrik Abel.

Un exemple évident est fourni par les entiers relatifs avec l'addition : \((\mathbb{Z},+).\) L'addition de deux entiers donne encore un entier, l'addition est associative, 0 est l'élément neutre et chaque entier \(n\) possède un opposé (\-n.\) Les entiers relatifs forment donc un groupe pour l'addition.

Les nombres réels non nuls constituent un groupe pour la multiplication : \((\mathbb {R}^*,\times).\) Le nombre 1 est l'élément neutre et tout réel non nul \(x\) possède un inverse \(\frac{1}{x}.\)

On peut cependant construire des groupes qui ne ressemblent pas du tout à des ensembles de nombres. Prenons par exemple les rotations d'un carré qui le laissent exactement superposé à lui-même. Il existe quatre rotations possibles : aucune rotation, une rotation de 90 degrés, de 180 degrés ou de 270 degrés. On peut composer ces rotations. Effectuer une rotation de 90°, puis une autre de 90° revient à effectuer une rotation de 180°. Effectuer quatre rotations de 90° ramène à la position initiale. Ces quatre transformations forment un groupe.

Utilité

On peut s'interroger sur l’utilité pratique des groupes, les structures mathématiques étant tout de même plus abstraites que les probabilités ou les suites ! C'est parce qu'ils permettent de reconnaître une même organisation mathématique dans des problèmes qui semblent, au départ, complètement différents.

• Étudier les symétries : les groupes sont particulièrement adaptés à l'étude des symétries. Les rotations et les réflexions d'une figure géométrique peuvent être combinées et inversées : elles possèdent donc naturellement une structure de groupe. Cette idée ne concerne pas uniquement les figures de géométrie scolaire. Les symétries jouent un rôle majeur en physique, notamment dans l'étude des lois fondamentales de la nature. Certaines propriétés des particules élémentaires sont décrites à l'aide de groupes de symétrie.


• Comprendre les équations : la théorie de Galois permet de relier les propriétés d'une équation aux transformations de ses solutions. On ne cherche plus seulement la ou les solution(s) d'une équation mais l'ensemble des relations entre elles. Cette façon de voir les choses a profondément transformé l'algèbre.


• Cryptographie : les groupes interviennent dans des domaines beaucoup plus appliqués. Certaines méthodes de cryptographie, notamment celles fondées sur les courbes elliptiques, utilisent des structures algébriques possédant une loi de groupe. Cela permet de réaliser des opérations faciles à effectuer dans un sens mais beaucoup plus difficiles à inverser. Cette asymétrie est particulièrement utile pour sécuriser des communications numériques.


• Informatique : les groupes apparaissent également en informatique théorique, dans l'étude des transformations, des codes et de certains algorithmes.


• Une manière de penser les mathématiques : l'intérêt fondamental des groupes dépasse les exemples particuliers. Ils illustrent une démarche importante des mathématiques : chercher une structure commune derrière des problèmes différents. Nous avons évoqué des exemples qui, à première vue, n'ont rien en commun. Pourtant, ils peuvent tous être étudiés avec les mêmes concepts : opération, élément neutre, inverse, associativité, composition. C'est ce qui rend les structures mathématiques puissantes. Elles permettent de développer une théorie une seule fois, puis de l'appliquer à de nombreux domaines.

Ce langage commun permet de décrire et d'étudier les transformations et les opérations dans différents contextes. L'abstraction n'est pas une fin en soi : elle sert à repérer ce qui est commun derrière des situations qui, sans elle, paraîtraient totalement indépendantes.

Exemple du Rubik’s cube

Le Rubik's Cube fournit un exemple inattendu de groupe.

Chaque mouvement du cube — tourner une face d'un quart de tour, d'un demi-tour, etc. — constitue une transformation de sa configuration. On peut composer ces transformations : effectuer un mouvement, puis un autre, revient à effectuer une nouvelle transformation du cube. Il existe aussi une transformation neutre, qui consiste à ne rien faire, et chaque mouvement possède un mouvement inverse permettant de revenir à la configuration précédente. L'ensemble des transformations réalisables sur le cube possède donc une structure de groupe. Cette approche permet d'ailleurs d'étudier mathématiquement les nombreuses configurations du cube et les relations entre les différents mouvements.

Mais encore…

Voir l’exercice sur les structures algébriques (extrait d’une épreuve du bac marocain).

L’étude des groupes se poursuit habituellement par celle des sous-groupes : à l'intérieur d'un groupe, on peut parfois identifier un ensemble plus petit qui possède lui-même une structure de groupe.