Un exercice sur l'équation cartésienne d'une droite

Équation paramétrée d'une droite

Vous trouverez ici un exercice de niveau première générale. Tel un funambule, vous travaillerez sur une droite. Celle-ci sera définie par une équation cartésienne et comportera un paramètre réel \(m,\) à déterminer selon les indications de l’énoncé.

 

Énoncé

Soit \((d)\) la droite d’équation \((2 + m )x\) \(+\) \((m^2 - 4)y - 5\) \(=\) \(0\) où \(m\) est un réel.

Déterminer le ou les réels \(m\) dans chacun des cas suivants, si cela est possible :

  1. \((d)\) est parallèle à chacun des axes.
  2. Le point \(A(4\,;5)\) appartient à \((d).\)
  3. \((d)\) est parallèle à la droite \((d’)\) d’équation \(4x - 3my + 0,1 = 0\)

 

Corrigé détaillé

1. Pour que \((d)\) soit parallèle à l’axe des ordonnées, il faut que le coefficient de \(y\) soit égal à 0.

Donc \(m^2 - 4 = 0\)

On pourrait en conclure que \(S = \{-2\,;2\}.\)

Or, si l’on remplace \(m\) par -2, on annule aussi le terme en \(x,\) d’où l’égalité fausse \(-5 = 0.\)

La seule solution est donc 2 et une équation de la droite est \(4x - 5 = 0.\)

Pour que \((d)\) soit parallèle à l’axe des abscisses, il faut que \(2 + m = 0.\) Nous l’avons vu, la seule solution (-2) annule aussi le terme en \(y.\) Donc \((d)\) ne peut pas être parallèle à l’axe des abscisses, quelle que soit la valeur de \(m.\)

2. Il suffit de remplacer \(x\) par 4 et \(y\) par 5.

\(4(2 + m) + 5(m^2 - 4) - 5 = 0\)
\(⇔ 8 + 4m + 5m^2 - 20 - 5 = 0\)
\(⇔ 5m^2 + 4m - 17 = 0\)

C’est une équation du second degré de forme \(am^2 + bm + c\) \(=\) \(0\) avec \(a = 5,\) \(b = 4\) et \(c = -17.\) Calculons le discriminant.

\(Δ = b^2 - 4ac,\) soit \(Δ\) \(=\) \(16 - [4 × 5 × (-17)]\) \(=\) \(356.\)

\(Δ > 0,\) l’équation admet deux solutions réelles \(m_1\) et \(m_2.\)

\(m_1\) \(=\) \(\frac{-4 - \sqrt{326}}{2 \times 5}\) \(=\) \(\frac{-4 - 2 \sqrt{89}}{2 \times 5}\) \(=\) \(\frac{-2 - \sqrt{89}}{5}\)

\(m_2 = \frac{-2 + \sqrt{89}}{5}\)

Comme ces solutions sont tarabiscotées, on peut légitimement avoir envie de les vérifier. Voyons ce que ça donne avec \(m_1.\)

Pour alléger la ligne de calcul, déterminons préalablement \(m_1^2.\)

\(m_1^2 = \frac{4 + 4 \sqrt{89} + 89}{25} = \frac{93 + 4 \sqrt{89}}{25}\)

Donc :

\(4 \left(2 + \frac{-2 - \sqrt{89}}{5} \right) + 5 \left( \frac{93 + 4 \sqrt{89}}{25} - 4\right) - 5\)

\(= 4 \left( \frac{50 - 10 - 5 \sqrt{89}}{25} \right) + 5 \left( \frac{93 + 4 \sqrt{89} - 100}{25} \right) - 5\)

\(= \frac{160 - 20 \sqrt{89} - 35 + 20 \sqrt{89}}{25} - 5\)

\(= \frac{125}{5} - 5 = 0\)

Bon, d’accord, la vérification était presque plus longue que la recherche des solutions, mais c’était un tel plaisir…

3. Les droites \((d)\) et \((d’)\) sont parallèles (au sens large) si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.

parallélisme

Donc si \(-3m(2 + m) - 4(m^2 - 4) = 0\)
\(⇔ -6m - 3m^2 - 4m^2 + 16 = 0\)
\(⇔ -7m^2 - 6m + 16 = 0\)

Le discriminant est égal à \(36 + 448 = 484,\) soit \(22^2.\)

\(m_1 = \frac{6 - 22}{-14} = \frac{8}{7}\)

\(m_2 = \frac{6 + 22}{-14} = -2\)

Or nous avons déjà vu que \(m\) ne pouvait être égal à -2. Il existe donc une seule valeur de \(m\) pour laquelle \((d)\) et \((d')\) sont parallèles. \(S = \{\frac{8}{7}\}.\)

Vérification graphique.

\((d)\) : \(\left(2 + \frac{8}{7} \right)x + \left[\left(\frac{8}{7}\right)^2 - 4\right]y - 5\) \(=\) \(0\)

Donc \((d)\) : \(\frac{22}{7}x - \frac{132}{49}y - 5 = 0\)

On peut éventuellement modifier l’expression afin de n’avoir que des entiers. Soit \(154x - 132y - 245\) \(=\) \(0\)

\((d')\) : \(4x - \frac{24}{7}y + 0,1 = 0\)

Sur GeoGebra, il suffit d’entrer les équations de droites dans la ligne de saisie.

d et d'