Les triangles dans le plan complexe

Exercice de définition d'un triangle dans le plan complexe

En terminale sont étudiées des représentations géométriques dans le plan complexe. Par exemple des triangles. Et parfois, paf ! Ça tombe au bac. C’est ce qui arriva un beau jour de printemps à Pondichéry en 2017. Remémorons-nous les évènements…

 

Énoncé

    On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct \((O\,,\overrightarrow u, \overrightarrow v).\)
    1- On considère l’équation

\[(E) : z^2 - 6z + c = 0\]

    où \(c\) est un réel strictement supérieur à 9.
    A. Justifier que \((E)\) admet deux solutions complexes non réelles.
    B. Justifier que les solutions de \((E)\) sont \(z_A\) \(=\) \(3 + i\sqrt{c - 9}\) et \(z_B\) \(=\) \(3 - i \sqrt{c - 9}\)
    2- On note \(A\) et \(B\) les points d’affixes respectives \(z_A\) et \(z_B.\)
    Justifier que le triangle est isocèle en \(O.\)
    3- Démontrer qu’il existe une valeur du réel \(c\) pour laquelle le triangle \(OAB\) est rectangle et déterminer cette valeur.

 

Corrigé détaillé

1- A. Cette première question ne pose aucune difficulté. Il suffit de montrer que le discriminant est strictement négatif.

Donc \(Δ = 36 - 4c.\)

Comme \(c > 9,\) il s'ensuit que \(Δ < 0.\) Les solutions de l’équation ne sont donc pas réelles.

B. Rappel : un discriminant négatif signifie que l’équation \(az^2 + bz + c\) \(=\) \(0\) admet deux solutions complexes conjuguées dans l'ensemble des complexes :

\(z_1 = \frac{-b + i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\) et \(z_2 = \frac{-b - i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\)

En l’occurrence, on obtient \(\frac{6 - i\sqrt{4c - 36}}{2}\) et \(\frac{6 + i \sqrt{4c - 36}}{2}\)

Nommons ces racines (et modifions les écritures par la même occasion)…

\(z_B = \frac{6 - 2i\sqrt{c-9}}{2}\) et \(z_A= \frac{6 + 2i\sqrt{c-9}}{2}\)

En simplifiant les quotients par 2, on obtient bien les solutions indiquées dans l’énoncé.

2- \(z_B\) est le conjugué de \(z_A.\) Donc ces deux affixes ont le même module. Ainsi \(OA = OB\) donc le triangle \(AOB\) est isocèle en \(O.\)

3- Enfin une question qui réclame un peu de réflexion (oui, jusque-là c’était quand même facile !)

Par propriété, un triangle isocèle en \(O\) ne peut être rectangle qu’en \(O.\) Pour cela, il faut que \(\frac{z_A - z_O}{z_B - Z_O} = i\) ou \(-i,\) donc \(\frac{z_A}{z_B} = i\) ou \(-i.\)

Étudions ces deux possibilités.

\[\frac{3 + i \sqrt{c - 9}}{3 - i \sqrt{c - 9}} = i\]

\(\Leftrightarrow 3 + i \sqrt{c - 9} = i(3 - i\sqrt{c - 9})\)
\(\Leftrightarrow 3 + i \sqrt{c - 9} = 3i + \sqrt{c - 9 }\)
\(\Leftrightarrow 3 - 3i = \sqrt{c - 9} - i \sqrt{c - 9}\)
\(\Leftrightarrow 3(1 - i) = \sqrt{c - 9}(1 - i)\)
\(\Leftrightarrow 3 = \sqrt{c - 9}\)
\(\Leftrightarrow 9 = c - 9\)
\(\Leftrightarrow c = 18\)

Cette solution suffit pour répondre à l’énoncé mais si jamais vous aviez commencé par l’autre équation, la voici :

\[\frac{3 + i \sqrt{c - 9}}{3 - i \sqrt{c - 9}} = -i\]

\(\Leftrightarrow 3 + i \sqrt{c - 9} = -i(3 - i\sqrt{c - 9})\)
\(\Leftrightarrow 3 + i \sqrt{c - 9} = -3i - \sqrt{c - 9 }\) (n’oublions pas que \((-i)^2 = -1\))
\(\Leftrightarrow 3 + 3i = - i \sqrt{c - 9} - \sqrt{c - 9} \)
\(\Leftrightarrow 3(1 + i) = \sqrt{c - 9}(-i - 1)\)
\(\Leftrightarrow 3 = -\sqrt{c - 9}\)

C’est impossible.

En tout état de cause, nous avons déterminé une valeur réelle de \(c\) pour que le triangle \(AOB\) soit rectangle et c'est 18.

Non demandé dans l’énoncé : nous avons \(z_A = 3 + 3i\) et \(z_B = 3 - 3i\)

Illustration graphique (GeoGebra, retouché avec Illustrator)

 

Note : un triangle peut aussi vous prévenir que le plan est complexe :

 

plan complexe