Exercices avec fonctions composées de la fonction sinus
Trois exercices de niveau terminale générale (maths de spécialité) à partir de la fonction sinus…
Exercices
Exercice 1
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = |\sin(x)|\)
- Étudier la parité de \(f.\)
- Montrer que \(f\) est π-périodique.
- Tracer la représentation graphique de \(f.\)
Exercice 2
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\)
\[f:x \mapsto 3\sin \left( {4x + \frac{\pi }{6}} \right)\]
- Démontrer que \(f\) est périodique de période \(\frac{\pi}{2}.\)
- Calculer \(f',\) dérivée de \(f.\)
- Étudier le signe de \(f’\) et les variations de \(f\) sur l'intervalle \(\left[ {0\,;\frac{\pi }{2}} \right].\)
Exercice 3
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 3\sin(x) - 2x.\)
Calculer \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{x}\) sachant que \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (x)}}{x} = 1.\)
Corrigés
Corrigé 1
1- \(f(-x) = |\sin(-x)|\) \(= |-\sin(x)|\) pour tout réel \(x\) car la fonction sinus est impaire.
Par propriété de la valeur absolue, \(|-\sin(x)| = |\sin(x)|.\)
Donc \(f(-x) = f(x).\) La fonction \(f\) est paire.
2- Pour tout réel \(x,\) \(f(x + \pi)\) \(= |\sin(x + \pi)| = |-\sin(x)|\) par propriété de la fonction sinus.
\(|-\sin(x)| = |\sin(x)| = f(x).\)
La fonction \(f\) est π-périodique.
3- Le tracé avec GeoGebra :
Bravo, vous avez modélisé une puce qui saute.
Corrigé 2
1-
\(f\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = 3\sin\left(4x + \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right)\)
\(= 3\sin\left(4x + 2\pi + \frac{\pi}{6}\right)\)
\(=3\sin\left(4x + \frac{\pi}{6}\right)\)
\(= f(x)\)
2- Rappelons que \([\sin(u(x))]’ = u’(x) \cos(u(x))\).
Donc \(f'(x) = 12\cos\left(4x + \frac{\pi}{6}\right)\)
3- Déterminons pour quelle(s) valeur(s) \(f’\) s’annule. Nous savons que \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\) et \(\cos\left(\frac{-\pi}{2}\right) = 0.\) Nous posons donc :
\(\cos\left(4x+\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\) ou \(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow 4x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) ou \(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi\) (avec \(k \in \mathbb{Z}\))
\(\Leftrightarrow 4x = \frac{2\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(4x = -\frac{4\pi}{6} + 2k\pi\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}\) ou \(x = -\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}\)
Sur \(\left[0 \,; \frac{\pi}{2}\right]\) nous avons…
\(x = \frac{\pi}{12}\) ou \(x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3}\)
Nous devons donc étudier le signe de \(f’\) sur trois intervalles. D’abord, sur \(\left[0 \,; \frac{\pi}{12}\right].\) Remarquez qu’il est inutile de nous encombrer du facteur 12 qui ne change rien au signe et encadrons \(x\) :
Si \(0 \leqslant x \leqslant\frac{\pi}{12},\) alors...
\(\frac{\pi}{6} \leqslant 4x + \frac{\pi}{6} \leqslant\frac{4\pi}{12} + \frac{\pi}{6}\)
\(\Leftrightarrow \frac{\pi}{6} \leqslant 4x + \frac{\pi}{2} \leqslant\frac{\pi}{2}\)
Encadrons à présent le cosinus de notre expression. On connaît les valeurs de \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\) et de \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\) (voir la page introduisant la trigonométrie) :
\(0 \leqslant\cos\left(4x + \frac{\pi}{6}\right) \leqslant\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Nous en concluons que \(f’ \geqslant 0\) sur \(\left[0\,;\frac{\pi}{12}\right]\) et donc que \(f\) est croissante sur cet intervalle.
De même vous pouvez établir que \(f\) est décroissante sur \(\left[\frac{\pi}{12}\,;\frac{\pi}{3}\right]\) puis croissante sur \(\left[\frac{\pi}{3}\,;\frac{\pi}{2}\right].\)
Corrigé 3
\(\frac{f(x)}{x} = \frac{3\sin(x) - 2x}{x}\)
\(\Leftrightarrow \frac{f(x)}{x} = 3\frac{\sin(x)}{x}-2\)
Donc :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{x} = 3 \times 1 - 2\ = 1\)
