Les intervalles associés à N(0;1)

Intervalles associés à une probabilité de loi N(0;1)

La page que vous venez d’ouvrir traite d’une propriété de la loi normale centrée réduite. Une propriété bien pratique et, reconnaissons-le, assez évidente. Sans elle, impossible de déterminer des intervalles de fluctuation et des intervalles de confiance (ce qui nous plongerait dans un profond désarroi).

Cette page avait été rédigée pour les élèves de terminale générale mais ce thème n'est plus au programme. Les étudiants pourront toutefois y trouver quelques réponses...

 

Propriété

Soit \(Z\) une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et α un réel appartenant à l’intervalle \(]0\,; 1[.\)

Il existe un unique réel positif \(u\) tel que la probabilité que \(Z\) se situe entre \(-u\) et \(u\) soit égale à \(1 - α.\)

\(P(-u \leqslant Z \leqslant u)\) \(=\) \(1 - \alpha\)

 

Deux célébrités

En pratique, on cherche presque toujours les valeurs de \(u\) pour lesquelles \(α = 0,05\) ou \(α = 0,01.\) Alors autant connaître par cœur les intervalles qui leur sont associés !

Ainsi, si \(α = 0,05,\) nous avons \(P(-1,96 \leqslant Z \leqslant 1,96)\) \(\approx\) \(0,95.\)

1,96 est une valeur approchée. En pratique, deux décimales sont bien suffisantes.

Ci-dessous, la courbe de densité a été réalisée avec Geogebra. Pour faire apparaître l’aire qui représente \(P(-u \leqslant Z \leqslant u),\) la formule à entrer dans le logiciel est :

Intégrale[2.71828^(-x² / 2) / sqrt(2 π), -1.96, 1.96]

alpha = 0,95

Par définition, l’aire comprise entre la courbe et l’axe des abscisses vaut 1. Ici, on ne s’intéresse qu’à \(95\%\) des probabilités situées symétriquement autour de l’espérance.

On écrit donc :

\(\displaystyle{\int_{-1,96}^{1,96} {f(x)dx} = 0,95}\)

Mentionnons un autre intervalle :

Si \(α = 0,01,\) nous avons \(P(-2,58 \leqslant Z \leqslant 2,58)\) \(\approx\) \(0,99.\)

alpha = 0,99

L’intégrale :

\(\displaystyle{\int_{-2,58}^{2,58} {f(x)dx} = 0,99}\)

Ces intervalles et tous les autres associés à une probabilité donnée peuvent être recherchés dans des tables mais aussi à l’aide de tableurs (voir la loi normale avec tableurs), de progiciels de statistiques ou de calculatrices.

étudiant

 

Démonstration de la propriété

Posons \(G(u) = P(-u \leqslant Z \leqslant u)\)

Soit \(f\) la fonction de densité de la loi normale centrée réduite et \(F,\) une primitive de \(f.\)

\(G(u)\) \(=\) \(\displaystyle{\int_{-u}^{u} {f(x)dx}}\) \(=\) \(F(u) - F(-u)\)

Dérivons \(G\) pour connaître son sens de variation. Soit \(G’\) cette dérivée.

La dérivée de \(-F(-u)\) est \(-(-f(-u)).\)

Donc \(G’(u)\) \(=\) \(f(u) + f(-u).\)

Or, nous savons qu’une fonction de densité est toujours positive. Par conséquent, \(G’\) est strictement positive puisque c’est la somme de deux fonctions strictement positives.

Il s’ensuit que \(G\) est une fonction strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+.\)

Étudions ses valeurs aux bornes de son ensemble de définition.

Il est évident que \(G(0) = 0\) :

\(\displaystyle{\int_{0}^{0} {f(x)dx} = 0}\)

À l’infini, \(G(u) = 1\) puisque \(f\) est une densité de probabilité.

Et le tableau de variation apparaît dans toute sa majesté…

tableau de variation

Poursuivons. Nous savons que \(1 - α\) appartient à l'intervalle \(]0\, ; 1[.\) Or, la fonction \(G\) est continue et strictement monotone sur son ensemble de définition. Ses valeurs sont comprises entre 0 et 1. D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel \(u\) tel que \(G(u) = 1 - α.\)

La propriété est démontrée.

 

propriété de la loi normale