Exercices sur lois de probabilité (niveau seconde)
C’est en classe de seconde que l’on aborde les lois de probabilité, que l'on nomme aussi « distributions » de probabilité.
Comme vous le savez depuis votre plus tendre enfance, la somme des probabilités correspondant à tous les événements possibles d’une expérience aléatoire est égale à 1. De plus, une probabilité est comprise dans l’intervalle \([0\,; 1].\)
Ainsi, on modélise les résultats d’une expérience aléatoire sous la forme d’un tableau à deux lignes, la première reprenant les différents évènements possibles (seules des lois discrètes sont étudiées en seconde) et la deuxième indiquant les probabilités correspondantes et son total est égal à 1.
À partir de là, il vous est possible de réaliser quelques exercices.
Exercice 1
Le tableau suivant définit-il une loi de probabilité ?
| Issue | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
| \(p_i\) | 0,12 | 0,13 | 0,41 | 0,29 | 0,06 |
Exercice 2
Le tableau suivant définit-il une loi de probabilité ?
| Issue | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
| \(p_i\) | 0,42 | -0,11 | 0,22 | 0,14 | 0,33 |
Exercice 3
Trouver la valeur de \(x\) pour que le tableau suivant représente une loi de probabilité.
| Issue | A | B | C | D |
| \(p_i\) | \(\displaystyle{\frac{x}{5}}\) | \(\displaystyle{\frac{x}{25}}\) | \(\displaystyle{\frac{x}{150}}\) | \(\displaystyle{\frac{x}{50}}\) |
Exercice 4
Peut-on attribuer une ou deux valeurs à \(x\) pour que la distribution suivante représente une loi de probabilité ? Justifier.
| Issue | A | B | C |
| \(p_i\) | \(\displaystyle{x^2}\) | \(\displaystyle{\frac{4}{5}x}\) | \(\displaystyle{\frac{4}{25}}\) |
Exercice 5
Dans un lot de timbres représentant des animaux, il y a quatre fois plus de représentations d’oiseaux que d’autres animaux. On prend un timbre au hasard. Établir un modèle de probabilité.
Corrigés
Corrigé 1
Non, la somme des \(p_i\) est égale à 1,01.
Corrigé 2
Non, la somme des \(p_i\) est bien égale à 1 mais il y a une valeur négative.
Corrigé 3
C’est plus un prétexte à manipuler des fractions qu’un vrai problème de probabilité !
\(\displaystyle{\frac{x}{5} + \frac{x}{25} + \frac{x}{150} + \frac{x}{50}}\) \(=\) \(1\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{30x}{150} + \frac{6x}{150} + \frac{x}{150} + \frac{3x}{150}}\) \(=\) \(1\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{40x}{150}}\) \(=\) \(1\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow x = \frac{15}{4}}\)
Ou si l’on préfère une notation décimale, \(S = \{3,75\}.\)
Corrigé 4
Un exercice encore plus tordu que le précédent puisque les probabilités ne sont là encore qu’un prétexte, cette fois pour réviser les identités remarquables.
\(\displaystyle{x^2 + \frac{4}{5}x + \frac{4}{25} = 1}\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow \left( x + \frac{2}{5} \right)^2 = 1}\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow \left( x + \frac{2}{5} \right)^2 - 1 = 0}\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow \left( x + \frac{2}{5} - 1 \right) \left( x + \frac{2}{5} + 1 \right)}\) \(=\) \(0\)
Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul.
\(\displaystyle{\Leftrightarrow x + \frac{2}{5} - 1 = 0}\) ou \(\displaystyle{x + \frac{2}{5} + 1 = 0}\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow x = \frac{3}{5}}\) ou \(\displaystyle{x = -\frac{7}{5}}\)
Cette seconde solution n’est pas possible car nous obtiendrions une probabilité \(p(B)\) négative.
Donc \(S = \{\frac{3}{5}\}\)
Corrigé 5
Il y a donc quatre timbres d’oiseaux pour un timbre d’un autre animal. Donc, sur cinq timbres, quatre représentent des oiseaux. Dit autrement, \(80\%\) des timbres représentent des oiseaux.
| Issue | Oiseau | Autre |
| Probabilité | 0,8 | 0,2 |
