La réécriture de complexes sous forme trigonométrique

Détermination du module et de l'argument

Vous êtes en présence d’un nombre complexe, exprimé sous sa forme algébrique, et l’envie vous prend de déterminer son module et son argument (par exemple pour procéder à un produit ou à un quotient, la forme trigonométrique étant plus adaptée à ces opérations que l’algébrique). Comment faire ? Cette page vous fournit un mode d’emploi puis quelques exercices simples.

 

La technique

Sous sa forme algébrique, un nombre complexe se présente ainsi : \(z = x + iy,\) avec \(i^2 = -1.\)

Sous sa forme trigonométrique, il ressemble à ceci : \(z\) \(=\) \(|z| (\cosθ + i\sinθ),\) qui s’écrit aussi\(z\) \(=\) \(r (\cosθ + i\sinθ).\)

Le module est \(|z|\) (ou \(r\)) et l’argument est \(θ.\)

Pour passer de la première écriture à la seconde, il faut d’abord déterminer le module.

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

Cette étape n’offre aucune difficulté. Ensuite, on cherche un argument \(θ\) qui satisfait aux deux conditions suivantes : \(\cos \theta = \frac{x}{r}\) et \(\sin \theta = \frac{y}{r}\)

Là, il est appréciable de bien maîtriser la configuration du cercle trigonométrique. Dans les exercices qui suivent, nous chercherons toujours UN argument et non L’argument puisque graphiquement il s’agit d’un angle et que tout angle a une infinité de mesures en radians (une mesure principale et la même majorée de \(2kπ,\) avec \(k\) entier relatif).

 

Exercices

Exercice 1

Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : \(z_1 =2,\) \(z_2 = -3,\) \(z_3 = 2i\) et \(z_4 = -3i.\)

Exercice 2

Écrire le complexe \(z = 1 + i\) sous forme trigonométrique.

Exercice 3

Écrire le nombre complexe \(z = -1 + i\sqrt{3}\) sous forme trigonométrique.

Exercice 4

Soit le nombre complexe \(z = 4 - 4i.\) L’écrire sous une forme trigonométrique.

 

Corrigés

Corrigé 1

Il n’est même pas nécessaire d’utiliser la formule ; en revanche on peut se représenter mentalement le plan complexe. \(z_1\) et \(z_2\) sont des réels, donc leurs arguments sont nuls et leurs modules sont leurs valeurs absolues (respectivement 2 et 3). \(z_3\) et \(z_4\) sont des imaginaires purs. Leurs modules sont respectivement 2 et 3. Comme 2 est positif, un argument de \(z_3\) est \(\frac{π}{2}\) (un quart du cercle trigonométrique à parcourir). Un argument de \(z_4\) est \(-\frac{π}{2}\) (un quart de cercle en sens inverse).

Corrigé 2

\(z\) est écrit sous la forme \(x + iy\) avec \(x = 1\) et \(y = 1.\)

Module : \(|z|\) \(=\) \(\sqrt{1^2 + 1^2}\) \(=\) \(\sqrt{2}\)

Recherche d’un argument : \(\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\) et \(\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

C’est l’une des valeurs à connaître dès la classe de première : \(θ = \frac{π}{4}.\)

Donc : \(z\) \(=\) \(\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})\)

Corrigé 3

Le module est \(|z|\) \(=\) \(\sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2}\) \(=\) \(\sqrt{4}\) \(=\) \(2\)

Recherche d’un argument : \(\cos \theta = -\frac{1}{2}\) et \(\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

En cas de défaillance de mémoire, le recours au cercle trigonométrique est salvateur (ici, le cercle est réalisé avec Sinequanon et adapté à notre exercice grâce à Photoshop) :

cercle

Un argument est égal à \(\frac{2π}{3}.\)

Concluons : \(z\) \(=\) \(2(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3})\)

Corrigé 4

\(|z|\) \(=\) \(\sqrt{4^2 + (-4)^2}\) \(=\) \(\sqrt{32}\) \(=\) \(4\sqrt{2}\)

\(\cos \theta\) \(=\) \(\frac{4}{4\sqrt{2}}\) \(=\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(=\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin \theta\) \(=\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Là encore, l’argument est une célébrité trigonométrique : \(-\frac{π}{4}.\)

\(z\) \(=\) \(4\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin (-\frac{\pi}{4}))\)

Note : lorsque l’argument ne peut pas être exprimé par un rationnel ou en fonction de \(π,\) on se contente d’une valeur approchée.

 

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