Une introduction à l'intégration par parties

Intégration par parties, démonstration et exemples

L’intégration par parties peut apparaître comme un casse-tête. Mais en connaissant quelques astuces, l’opération n’est pas si méchante que ça.

Cette page s’adresse aux élèves de terminale générale, maths de spécialité.

 

La formule

Soit une intégrale qui vous tend les bras, vous suppliant d’être résolue. Mais il vous est impossible de trouver directement la primitive qui vous sortira d’embarras car la fonction à intégrer se présente comme un produit, voire un quotient de fonctions. L’intégration par parties semble le seul recours.

Soit \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur l’intervalle \([a\, ;b].\)

La formule :

\[\int_a^b {u(x)v'(x)dx} = \left[ {u(x)v(x)} \right]_a^b - \int_a^b {u'(x)v(x)dx} \]

Évidemment, vous pouvez intervertir les expressions de \(u\) et \(v.\)

La première difficulté, lorsqu’un produit de fonctions est à intégrer, consiste donc à déterminer qui est \(u\) et qui est \(v.\) En d’autres termes, on se pose la question de savoir de quelle fonction il est plus simple d’obtenir une primitive.

élève

 

Démonstration

La démonstration de la formule est simple.

Vous savez depuis la classe de première que la dérivée d'une fonction \(f\) pouvant s'écrire \(f(x) = u(x) × v(x)\) est \(f'(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x)\).

\(\int_a^b {(uv)'(x)dx}\) \(=\) \(\int_a^b {(u'(x)v(x) + v'(x)u(x))dx} \)

Par linéarité de l’intégrale, on peut aussi écrire :

\(\int_a^b {(uv)'(x)dx}\) \(=\) \(\int_a^b {u'(x)v(x)}dx + \int_a^b {v'(x)u(x)}dx \)

Mais on peut également remarquer que :

\[\int_a^b {(uv)'(x)dx = } \left[ {u(x)v(x)} \right]_a^b\]

Par conséquent :

\(\left[ {u(x)v(x)} \right]_a^b\) \(=\) \(\int_a^b {u'(x)v(x)}dx + \int_a^b {v'(x)u(x)}dx \)

D’où la formule de l’intégration par parties :

\(\int_a^b {u(x)v'(x)}dx\) \(=\) \(\left[ {u(x)v(x)} \right]_a^b - \int_a^b {u'(x)v(x)}dx \)

 

Exemple 1

\[\int_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}} dx\]

Nous pouvons considérer un produit entre \(u(x) = \ln x\) et \(v’(x) = \frac{1}{x^2}\) En effet, il n’est pas difficile de déterminer \(v(x) = -\frac{1}{x}\) alors qu’il aurait été plus difficile choisir \(\ln x\) comme dérivée.

Quant à \(u’(x),\) c’est bien sûr \(\frac{1}{x}.\)

\(\int_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}} dx\) \(=\) \(\left[ {-\frac{\ln x}{x}} \right]_1^2 - \int_1^2 {-\frac{1}{x^2}dx} \)

L’intégrale qu’il nous reste à calculer n’est pas méchante…

\(\int_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}} dx\) \(=\) \(\left[ {-\frac{\ln x}{x}} \right]_1^2 - \left[ {\frac{1}{x}} \right]_1^2 \)
\(⇔ \int_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}} dx\) \(=\) \(-\frac{\ln 2}{2} - (\frac{1}{2} + 1)\)
\(⇔ \int_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}} dx\) \(=\) \(\frac{-\ln 2 + 1}{2}\)

Le premier exemple de la page d’intégrations par parties, rédigée pour les étudiants, est très proche de celui-ci. Vous pouvez vous y référer si vous souhaitez davantage de précisions.

 

Exemple 2

Cet exemple est lui aussi très simple car le choix de \(u(x)\) et \(v’(x)\) est évident.

\[\int_0^1 {x{e^x}dx} \]

Si \(u(x) = x\) alors \(u’(x) = 1.\)

\(\int_0^1 {x{e^x}dx} \) \(=\) \([xe^x]_0^1 - ∫_0^1 {e^x}dx\)
\(= e - [e^x]_0^1\) \(=\) \(e - (e - 1)\) \(=\) \(1\)

Vous pouvez vérifier facilement un résultat avec une calculatrice graphique (ci-dessous, une TI-83 Premium CE). Le résultat apparaît en bas à gauche. Cet exemple est d'ailleurs repris en page d'intégration avec calculatrices.

 

Exemple 3

\[\int_0^\pi  {(x + 1)\sin x} dx \]

Là non plus, le choix n’est pas cornélien.

\(u(x) = x + 1\)
\(u’(x) = 1\)
\(v’(x) = \sin x\)
\(v(x) = -\cos x\)

\(\int_0^\pi  {(x + 1)\sin x}dx \) \(=\) \([(x+1)(-\cos x)]_0^{π} - ∫_0^{{π}-\cos x}dx\)
\(= (π + 1)× 1 - 1(-\cos 0) + [\sin x]_0^{π}\)
\(= π + 1 + 1 = π + 2\)

Si vous vérifiez ce résultat avec votre calculatrice, n’oubliez pas le mode radians !