Les contributions aux axes factoriels

Interprétation des axes et des points

Les aléas de la vie vous ont conduit à réaliser une analyse factorielle (ACP sur variables, ACP sur individus, AFC, ACM). Et là, vous vous trouvez seul(e), face à de mystérieux axes factoriels. Et cette question existentielle qui martèle votre esprit : « pourquoi eux ? »

Bon, un peu de sérieux.

Contributions inégales

Dans toute analyse factorielle, chaque axe est construit à partir des éléments retenus (individus, variables, modalités, lignes ou colonnes selon la méthode). Tous participent à sa construction, mais certains y contribuent davantage que d'autres. C’est pourquoi les sorties de logiciels incluent souvent des tableaux de contributions aux axes qui sont des aides efficaces à l’interprétation, mais aussi la qualité de la description par l'axe.

• Les contributions à l'inertie d'un axe. Elles mesurent la participation d'un élément à sa construction. Dit autrement, elles répondent à la question « pourquoi cet axe existe-t-il ? ». Un élément dont la contribution est élevée influence fortement son orientation.
  
  Ci-dessous, les points A et C (que l'on supposera dans un plan) ont une plus forte contribution à l'inertie de l'axe représenté que B, proche de l'origine.
  
  
  
• Les cosinus carrés. Géométriquement, tout point de l’espace considéré forme un triangle rectangle avec sa projection sur l’axe et avec l’origine. L’éloignement du point peut donc être mesuré par son cosinus carré. Si la représentation est parfaite, le point se confond avec l’axe, l’angle est nul et le \(\cos^2\) est égal à 1. À l'inverse, le cos² d'un point très éloigné de l'axe est proche de zéro. Le cosinus carré répond donc à une question un peu différente : « dans quelle mesure cet axe décrit cet élément ? ».
  
  Ci-dessous, l'axe décrit bien le point A mais très mal le point B.
  
  

Pour résumer, les contributions servent à interpréter les axes tandis que les cos² servent à interpréter les points.

Représentation synthétique :

Exemple 1

Les tableaux suivants, issus de XLSTAT, résultent de l’exemple d’une ACP sur les observations (données sur des groupes américains en 2005). On y constate aisément qu’un outlier (General Motors) explique près des deux tiers de l’inertie du premier axe. Le point qui le représente graphiquement est d’ailleurs presque sur l’axe, le \(\cos^2\) étant très élevé.

Pour trouver la signification du premier axe, il faut se reporter aux données et trouver ce qui distingue General Motors des autres sociétés. La signification du deuxième axe est surtout fournie par Exxon et Wal Mart. Celle du troisième axe est donnée de façon plus diffuse par Citigroup et General Electric mais on remarque que Home Depot se situe presque sur l’axe (\(\cos^2 = 0,854\)). Si ce n’est pas cette société qui explique le plus d’inertie, elle est la plus « typique ». Les sociétés sont toutes éloignées des axes suivants, en particulier du dernier qui ne contient plus aucune explication…

Exemple 2

Autre exemple, celui d’une AFC sur les variables. L’exemple est celui de la page sur les résultats d’une AFC.

Là encore, on remarque que l’essentiel de l’inertie est expliqué par un critère, en l’occurrence le bleu. Les poids des autres couleurs ne sont pas pour autant insignifiants mais les modalités semblent dispersées de façon presque aléatoire…