A priori, rien de moins intéressant qu’une droite. Un trait infini, abstrait, tout bête, ni beau ni laid, connu de tous… Écrire là-dessus, c’est comme écrire sur l’ensemble vide, c’est blablater sur pas grand-chose. Mais bon, dans sa course à l’infini, ce machin fait forcément une rencontre intéressante à un moment donné alors étudions-le de plus près…

Définitions

Si la droite est limitée d’un côté, on parle de demi-droite. Des deux côtés, c’est un segment de droite. Deux droites sont sécantes quand elles se coupent et parallèles dans le cas contraire. Deux droites qui se coupent à angle droit sont perpendiculaires.

Une droite qui passe par les points A et B est notée (AB) et le segment qui va de A à B est noté [AB].

Le plan : autre abstraction, sorte de feuille de papier de taille infinie sans pliure, sans courbure. Deux droites qui se trouvent sur le même plan sont coplanaires. Des plans peuvent aussi être sécants ou parallèles entre eux, ainsi que des plans et des droites.

Lorsque deux droites sont sécantes, leur intersection est un point. Lorsque deux plans sont sécants, leur intersection est une droite (je reviendrai sur ce point important).

Si dans le plan deux droites sont forcément soit sécantes soit parallèles, elles peuvent n’être ni l’un ni l’autre dans l’espace.

L’orthogonalité est une notion plus large que la perpendicularité puisqu’il n’est pas nécessaire que les droites ou les plans soient sécants. Cette notion n’a d’intérêt que dans l’espace. On montre qu’une droite est orthogonale à un plan en prouvant qu’elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan.

Le plan médiateur d’un segment [AB] passe par son milieu tout en lui étant orthogonal. L’infinité de points qui le composent se trouvent à égale distance de A et de B.

Pour terminer cette présentation, voyons un petit exercice, du niveau de la classe de seconde.

Voici un tétraèdre dans lequel AC = AD et BC = BD. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

Nous sommes en présence de deux triangles isocèles : les deux arêtes bleues sont de même longueur, ainsi que les deux arêtes rouges. Si l’on place le point M, milieu de CD (segment commun aux deux triangles), les droites (AM) et (BM) sont perpendiculaires à (CD), c’est là une propriété des triangles isocèles. Par conséquent, (CD) est perpendiculaire au plan (MAB). Toutes les droites de ce plan sont donc orthogonales à (CD), y compris (AB). Mais ces deux droites ne sont pas perpendiculaires puisqu’elles ne se coupent jamais.

Et maintenant, graduons…

Tout ceci n’est pas d’un intérêt fondamental pour aider les entreprises à se développer. Dans le cadre de ce site, ces droites arrivent comme des cheveux (raides) sur la soupe (plane). C’est juste histoire d’avoir sous le coude quelques définitions. Passons donc à l’épisode suivant, celui où les droites découvrent le monde des repères normés.

Nous voici dans un espace vectoriel à une dimension (droite), ou deux (plan), ou plus (hyperplan).

La distance, dite euclidienne, est mesurable par une NORME :

Ainsi, une droite est munie d’un repère comme une règle est munie d’une graduation (« norme » permettant de se « repérer »). Un repère construit grâce à une base de vecteurs non colinéaires est orthogonal si ces derniers sont perpendiculaires et orthonormal si, en plus, ils sont de même norme. Dans un tel repère, la norme d’un vecteur est la suivante :

En univers tridimensionnel on ajoute un z² sous le radical, et ainsi de suite si l’on travaille sur un nombre supérieur de dimensions (voir page produit scalaire).

Revenons à nos droites et restons pour l’instant dans un banal espace à deux dimensions. La page fonction affine explique comment on trace dans le plan des droites définies par des expressions algébriques. Ainsi, pour trouver en quel point du plan deux droites sont sécantes, il suffit de résoudre un système de deux équations à deux inconnues qui sont l'abscisse et l'ordonnée communes aux deux droites. La page d'introduction à la programmation linéaire montre aussi qu’une problématique réelle d’allocation peut être résolue par un système d’inéquations et être visualisée graphiquement.

Si le nombre de dimensions est plus élevé, on est amené à résoudre des systèmes plus volumineux. En l’absence regrettable de logiciel, on peut utiliser la méthode du pivot de Gauss pour en venir à bout.

Plans dans un espace à trois dimensions

Dans un espace à trois dimensions, l’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 est celle d’un plan. Quant aux droites, elles se définissent à partir d’un système de deux équations cartésiennes (je vous avais bien dit que je reviendrai sur l’intersection de deux plans…). Ceci implique que pour démontrer l’alignement de trois points dans l’espace, on doit prouver qu’ils appartiennent à deux plans différents.

Par ailleurs, ce qu’on a vu sur les droites s’applique maintenant aux plans. Ainsi, deux plans sont soit parallèles soit sécants. Ils sont parallèles si a = λa’, b = λb’ et c = λc’. Dans le cadre d’un repère orthonormé, deux plans sont perpendiculaires si aa’ + bb’ + cc’ = 0.

On appelle vecteur normal à un plan un vecteur qui est orthogonal à ce plan.

Cela dit, si l'on dépasse le niveau du lycée, notre droite prend des airs de sous-espace vectoriel affine du plus bel effet.

C’est tout pour cette partie théorique...