Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le sens de variation des suites

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Suites croissantes, décroissantes et périodiques

Certaines montent, d’autres descendent, d’autres encore vont et viennent… Non, il ne s'agit ni du cours des actions à la Bourse, ni des équipes de foot dans le classement du championnat mais des suites numériques.

Définitions

Une suite (un) est croissante si un+1 ≥ un, pour tout entier naturel n.

Vous l’aviez deviné, elle est décroissante si un+1 ≥ un

On dit que (un) est STRICTEMENT croissante ou décroissante si l’inégalité est stricte.

Enfin, elle est stationnaire lorsque tous les termes sont les mêmes.

Lorsqu’une suite est soit croissante, soit décroissante, elle est monotone (comme toute fonction). Parfois, cette monotonie ne se vérifie qu’à partir d’un certain rang.

Le sens de variation des suites peut donc s'appréhender comme le sens de variation des fonctions, tel qu'enseigné en classe de seconde.

Une suite arithmétique est toujours monotone. Elle est croissante si sa raison est positive et décroissante si sa raison est négative.

Une suite définie comme une fonction f est croissante si f l’est aussi et, évidemment, elle est décroissante si c’est le cas de f. En revanche, l’inverse n’est pas toujours vrai comme le montre la fonction f définie par f(x) = cos 2πx + 0,2x qui n’est ni croissante ni décroissante, alors que la suite (un) définie par un = cos 2πn + 0,2n est croissante (les valeurs correspondent aux sommets observés pour chaque valeur entière de x sur le graphe ci-dessous).

Graphe

Mentionnons enfin les suites périodiques. Une suite est de période p si, pour tout n, un+p = un. À titre d'exemple, une suite géométrique de raison -1 est de période 2.

Étude

Il existe plusieurs techniques pour déterminer un sens de variation. Algébriquement, on peut soit étudier le signe de un+1 – un (exercice 1), soit comparer un+1 / un à 1 si les termes sont positifs (exercice 2). Lorsque la suite est définie par une fonction, on étudie le sens de variation de cette dernière (exercice 3). Enfin, on peut recourir au raisonnement par récurrence (exercice 4).

Exercices

Les trois premiers sont du niveau d'une première S. Un autre de même acabit se trouve en page initiation aux variations de suites. Les exercices 4 et 5 ont davantage leur place dans un programme de terminale S.

Exercice 1

Étudier le sens de variation de la suite (un) définie par un+1 = un² – un + 2 pour tout n ∈ N.

Exercice 2

Étudier sur N* le sens de variation de la suite (un) définie par :

exemple

Exercice 3

Étudier le sens de variation de la suite (un) définie par un = n² – 2n – 4 pour tout n ∈ N.

Exercice 4

Prouver que la suite (un) est croissante sur N sachant que u0 = 0 :

exemple

Exercice 5

Calculer les premiers termes de la suite (un) définie par u0 = 0 et un+1 = -un + 10 pour tout n appartenant à N. Puis démontrer qu’elle est périodique.

Corrigé 1

Nous avons un+1 – un = un² – 2un + 2. Faisons apparaître une identité remarquable.

un+1 – un = un² – 2un + 1 + 1 = (un – 1)² + 1.

Comme un carré est positif ou nul, (un – 1)² + 1 > 0. Donc (un) est strictement croissante.

Corrigé 2

corrigé 1ère partie

Étudions la fonction f définie sur [1 ; +∞[ :

f

Nous avons f(1) = 1. Si l’on montre que f est croissante, on montre du même coup que f(x) ≥ 1 et donc que (un) est croissante. Calculons sa dérivée f’ (voir la dérivée d’une fonction rationnelle).

Soit u = 4 et u’ = 8x, v = (x + 1)² et v’ = 2+ 2.

u/v

Après simplification…

f'

Or, f’ est positive pour tout x appartenant à [1 ; +∞[. Nous en déduisons que f est croissante et donc supérieure à 1. La suite (un) est strictement croissante.

Corrigé 3

Soit une fonction f définie sur R+ dont l’expression est f(x) = x² – 2x – 4. Sa dérivée est f’(x) = 2x – 2. On en déduit que f est décroissante jusqu’au point d’abscisse x = 1, après quoi la dérivée est positive et donc la fonction croît.

On en conclut que la suite (un) est décroissante jusqu’à n = 1 (u0 = -4 et u1 = -5), puis qu’elle est croissante.

Corrigé 4

Voir le corrigé en page raisonnement par récurrence.

Corrigé 5

u0 = 0, u= 10, u2 = 0, u3 = 10, u4 = 0, u5 = 10, u6 = 0 (bon, ça suffit comme ça…).

Démontrons que (un) est périodique, de période 2.

un+2 = -un+1 + 3 = -(-un + 3) + 3 = un – 3 + 3 = un

 

suites décroissantes

 

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