Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Une initiation au sens de variation des suites

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sens de variation de suites exprimées comme des fonctions

Vous qui venez de découvrir le monde des suites et qui cherchez des précisions sur leur sens de variation (en particulier si vous êtes en première S), cette page vous sera utile.

Soit une suite numérique (un) définie sur N et k un entier. Alors (un) est croissante pour n ≥ k signifie que pour tout n ≥ k, un+1 ≥ un. Et vice versa, si pour tout pour n ≥ k, on a un+1 ≤ un, alors (un) est décroissante.

Pensez à préciser sur quel intervalle une suite est croissante ou décroissante.

Il existe deux types de suites assez simples : les arithmétiques et les géométriques. La détermination de leur sens de variation n’offre aucune difficulté. Reportez-vous aux pages dédiées à ces types de suites et à la page évolutions de suites.

Il en est autrement des suites définies comme des fonctions, c’est-à-dire par un = f(n). Il convient alors d'étudier le sens de variation de la fonction.

Si f est croissante sur un intervalle I, alors la suite est également croissante sur I. Évidemment, si f est décroissante, la suite l’est aussi.

Attention, la réciproque est fausse ! On peut très bien avoir u1 = 0, u2 = 1, u3 = 2, etc. et donc f(1) = 0, f(2) = 1, f(3) = 2... Cependant si f(1,5) = 10, alors la suite est croissante mais f ne l’est pas. En page sens de variation de suites, vous avez l’exemple de la courbe représentative de f(x) = cos 2πx + 0,2x qui zigzague à l’infini mais dont les valeurs prises par f lorsque x est un entier sont strictement croissantes.

Exemple

Soit la suite définie pour tout n ∈ N par un = (n – 4)² + 1

un+1 – un = (n + 1 – 4)² + 1 – [(n – 4)² + 1]
                = (n – 3)² + 1 – (n – 4)² – 1
                = n² – 6n + 9 – (n² – 8n + 16)
                = n² – 6n + 9 – n² + 8n – 16
                = 2n – 7

Quel est le signe de 2n – 7 ?

Le signe est positif pour n ≥ 7 / 2 c’est-à-dire pour n ≥ 4 puisque n est un entier naturel. Il est négatif pour n ∈ [0 ; 4]. Donc (un) est décroissante jusqu’à u4 puis croissante pour n > 4.

Exercice

Soit la suite (un) définie pour n > 0 par :

exercice

Calculer les quatre premiers termes de la suite puis étudier ses variations.

Corrigé

Notre suite n’étant pas définie pour n = 0, ses quatre premiers termes sont :

3 premiers termes

L'expression de un apparaît sous la forme d’une fraction. Pour comparer deux termes consécutifs, il est donc plus pratique de travailler leur QUOTIENT.

quotient

Simplifions cette expression barbare.

simplification

Il ne s’agit pas de déterminer le signe du quotient (nous constatons immédiatement qu’il est positif) mais de savoir s'il est supérieur ou inférieur à 1. En effet, comme nous avons divisé un terme par son terme précédent, un quotient supérieur à 1 indique que la suite est croissante et bien sûr, un quotient compris entre 0 et 1 indique qu’elle est décroissante.

Cherchons l’intervalle sur lequel la suite est croissante.

Pour cela, posons : 2n² > (n + 1)²

Vous avez à coup sûr pensé à développer l'identité remarquable.

2n² > n² + 2n + 1
⇔ n² – 2n – 1 > 0

Considérons le trinôme A = x² – 2x – 1, avec x ∈ R+. Il nous faut chercher son signe, donc calculer son discriminant (bon, si vous étudiez les suites avant le second degré, vous êtes mal).

Δ = (-2)² – [4 × (-1)] = 8

Le calcul des racines donne les valeurs :

racines

Le signe de A est positif à l’extérieur des racines (même signe que le coefficient a qui multiplie x², en l’occurrence +1) et négatif entre elles. Comme la première racine ne peut être retenue (x étant un réel positif), nous dressons le tableau de signes suivant :

tableau de signes

Revenons à n. La racine est environ égale à 2,4.

n² – 2n – 1 > 0
⇔ n > 2,4
 n = 3

La suite (un) est décroissante de u1 à u3 puis elle est croissante au-delà.

Ci-dessous, la représentation graphique des premiers termes sur l'écran d'une calculatrice TI-83 :

un

D'autres exercices figurent en page suites croissantes et décroissantes.

 

prochain numéro

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés