Introduction à la loi exponentielle
Cette présentation de la loi exponentielle est conforme à ce qu’un élève de terminale générale (maths complémentaires) doit savoir. Il existe sur ce site une page sur la loi exponentielle qui dépasse un peu le programme de terminale, mais elle comporte un exemple avec utilisation d’Excel qui peut utilement compléter la présentation ci-dessous. Donc, si vous avez cinq minutes...
Définition
Soit \(λ\) (lambda) un réel strictement positif. Soit une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}_+\) par \(f(x) = λ e^{-λx}.\) Cette fonction est la densité d’une loi de probabilité nommée loi exponentielle de paramètre \(λ.\)
Note : comme cette loi s’applique essentiellement aux durées de vie, il est fréquent de la définir par \(f(t)\) puisque \(t\) marque habituellement le temps en mathématiques appliquées.
La démonstration qu’il s’agit bien d’une densité fait l’objet de l’exercice 3 de la page d'exercices sur lois de probabilités continues.
Propriétés
La première propriété est particulièrement étonnante.
Pour tous réels \(x\) et \(h\) positifs, la probabilité conditionnelle qu’une variable aléatoire \(X\) soit supérieure à \(x +h\) sachant que \(X\) est supérieure à \(x,\) est égale à la probabilité que \(X\) soit supérieure à \(h.\)
\(P_{X>x}(X > x+h)\) \(=\) \(P(X > h)\)
Note : vous trouverez plus loin des inégalités larges. Dans la mesure où il s’agit d’une loi continue, ce détail n’a aucune importance.
Application de cette propriété à un phénomène temporel : un évènement a la même probabilité de survenir n’importe quand, après une seconde ou au bout de dix ans. C’est pourquoi elle est appelée loi de durée de vie sans vieillissement.
Deuxième propriété :
\(P(X \leqslant x)\) \(=\) \(\displaystyle{\int_{0}^{x} {\lambda e^{-\lambda x} dx}}\) \(=\) \(1 - e^{-\lambda x}\)
Démonstration en page d’exercices sur la loi exponentielle.
De même, \(P(X \geqslant x) = e^{-\lambda x}\)
Troisième propriété :
\(E(X)\) \(=\) \(\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int_{0}^{x} {x \lambda e^{-\lambda x} dx}}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{1}{\lambda}}\)
Démonstration.
Rappel préalable sur les lois à densité : soit \(a\) et \(b\) deux réels avec \(a < b.\)
\(\displaystyle{ E(X) = \int_{a}^{b} {xf(x) dx}}\)
La primitive de la fonction dont l’expression est \(x f(x)\) qui s’annule en 0 (\(f\) étant la densité de la loi exponentielle) est :
\(F(X)\) \(=\) \(\displaystyle{-x e^{-\lambda x} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} + \frac{1}{\lambda}}\)
Note : cette page étant destinée aux élèves du secondaire, nous devons partir d'une primitive déjà calculée puis vérifier qu'elle est correcte. Quant à la détermination de cette primitive à partir de \(f,\) elle se trouve en page d'intégrales impropres résolues par parties mais la technique de l'intégration par parties n'est pas au programme de terminale, du moins en maths complémentaires.
Donc, d’une part nous vérifions que \(F(0) = 0\)
\(F'(0)\) \(=\) \(\displaystyle{0 - \frac{1}{\lambda} e^0 + \frac{1}{\lambda}}\) \(=\) \(0\)
D’autre part, nous dérivons \(F.\)
\(F'(x)\) \(=\) \(\displaystyle{-e^{- \lambda x} + \lambda xe^{-\lambda x} + e^{- \lambda x}}\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow F'(x) = x \lambda e^{- \lambda x}}\)
Nous obtenons bien ce que nous voulions obtenir.
Intégrons notre fonction de densité multipliée par \(x\) entre 0 et l’infini. Nous présenterons ceci sous la forme d'un calcul de limite.
Telle que l’expression \(F(x)\) apparaît ci-dessus, nous sommes en présence d’une forme indéterminée. Modifions-la.
\(F(x)\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{1}{\lambda} \left( -\lambda x e^{- \lambda x} - e^{- \lambda x} \right) + \frac{1}{\lambda}}\)
Il est évident que :
\(\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } - \lambda x = - \infty}\)
Et donc :
\(\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } e^{- \lambda x} = 0}\)
De plus nous savons que \(\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } xe^x = 0}\)
La démonstration se trouve en page de limites de la fonction exponentielle.
Par composition, il apparaît clairement que :
\(\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (-\lambda xe^{-\lambda x} - e^{-\lambda x})= 0}\)
Ainsi, \(\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } F(x) = \frac{1}{\lambda}}\)
L'inverse de \(λ\) est donc l’espérance de la loi exponentielle.
Illustrons-le avec une calculatrice TI-83 Premium avec, par exemple, \(λ = 1.\) Nous avons donc \(f(x) = e^{-x}\) définie sur \([0\,; +\infty[.\)
À défaut d’aller jusqu’à l’infini, nous nous contenterons d’intégrer jusqu’à 10. C’est un compromis qui permet d’obtenir une valeur presque égale à 1 (qui est l’espérance que nous devons vérifier) et de bénéficier d’une représentation graphique lisible.
Voir une application pratique de la loi exponentielle en page d'exercice sur deux lois à densité.
