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(et fondements mathématiques)

La loi normale sur tableurs

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Emploi de tableurs avec formules de loi normale

Incontournable loi normale ! Lorsqu'elle décrit directement une population (et non une distribution de résidus dans le cadre d’une autre étude), on apprend à centrer et à réduire ses valeurs pour ensuite se référer à une table. Sans être aussi fastidieuse qu’un calcul manuel de variance, il faut bien reconnaître qu’aujourd'hui la procédure est un peu anachronique…

En effet, des centaines de logiciels résolvent tous les problèmes requérant la loi normale de façon plus directe mais aussi plus précise puisque l’éventuelle interpolation linéaire entre les valeurs de la table est elle aussi expédiée aux oubliettes. Nous verrons ici comment les TABLEURS peuvent nous aider.  Les produits utilisés sont Excel 2007 (mais il n'y a aucune modification de syntaxe avec les versions plus récentes), le classeur d’OpenOffice 3 (téléchargeable gratuitement) et Google Documents (accessible sur Internet) qui possèdent les quatre mêmes fonctions.

Sur Excel, les fonctions statistiques sont disponibles en cliquant sur Formules, puis Plus de fonctions et Statistiques. On remarque alors qu’il existe quatre fonctions liées à cette loi : LOI.NORMALE, LOI.NORMALE.INVERSE, LOI.NORMALE.STANDARD et LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE.

Sur OpenOffice, cliquez sur Insertion, puis Fonctions et Statistiques. Le choix est le même qu’avec Excel (il existe une fonction GAUSS qui n’apporte pas grand chose).

Pour accéder aux fonctions statistiques du tableur (Spreadsheet) de Google Documents, cliquer sur Insert, puis Function, puis More… et sur Statistical. Les quatre fonctions prennent alors les noms de NORMDIST, NORMINV, NORMSDIST et NORMSINV.

Une illustration simple va nous servir de fil conducteur. Il s’agit de l’exemple 1 de la page utilisations de la loi normale. Contexte : une embouteilleuse un peu fatiguée remplit des bouteilles de 1 litre. En moyenne, les bouteilles contiennent bien 100 cl mais il existe un écart-type de 1,5 cl. Quelle est la probabilité qu’une bouteille contienne moins de 98 cl ?

Il suffit d’entrer ces trois chiffres. Exemple sur Excel 2007 :

avec Excel

Remarquez la barre de formule. Le dernier argument est 1. Il indique que nous utilisons la fonction cumulative. On obtient directement la probabilité que la valeur cherchée soit inférieure. Plus de 9 % des bouteilles contiennent moins de 98 cl.

Quelle est la probabilité qu’une bouteille contienne plus de 102,5 cl ?

Nous indiquons maintenant la probabilité contraire puisque les tableurs donnent la probabilité d’être inférieure à telle valeur, donc 1 moins la formule (ci-dessous, OpenOffice) :

avec OPenOffice

Moralité : environ 4,8 % des bouteilles dépassent la norme de 2,5 cl.

Note : un autre exemple très proche réalisé sur Google Documents figure en page risque d'exploitation. Voir aussi l'exercice de la page intervalle de fluctuation d'une variable aléatoire (niveau terminale STMG).

Si d’aventure il faut chercher la probabilité que la bouteille contienne entre 98 et 102,5 cl, il suffit de soustraire : 1 – 0,0912 – 0,0478 = 0,861. Donc, 86,10 % des bouteilles se situent dans l’intervalle considéré. Voir un exemple de ce type en page loi normale avec calculatrices.

Autre exercice, mais cette fois-ci pour se familiariser avec les fonctions standardisées : vous souhaitez disposer d’une table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. D’accord, on trouve cette table partout mais vous, vous souhaitez que cet exemplaire soit personnalisé ! Il faut donc la réaliser vous-même grâce à la fonction LOI.NORMALE .STANDARD. L’utilisation de cette fonction est simple puisqu’on entre un seul chiffre : par exemple, LOI.NORMALE.STANDARD(1,96)= 0,9750 (la valeur de 1,96 est bien celle utilisée lors des tests paramétriques bilatéraux avec risque de 5 %).

La réalisation est très simple (ci-dessous avec Excel). Il suffit d’entrer en colonne les valeurs de la variable centrée réduite avec une décimale et de descendre aussi loin que vous le désirez. En ligne est indiquée la seconde décimale (ces deux entrées figurent en bleu clair ci-dessous). Chaque probabilité est obtenue par la fonction du tableur avec pour argument la somme de l’intitulé de ligne et de l’intitulé de colonne (on n’entre la formule qu’une fois puis on fait un cliquer-glisser, en n’omettant pas les signes $ correctement placés, voir ci-dessous la formule de la cellule B2). Il ne reste plus qu’à personnaliser votre table avec en fond votre animal préféré (ci-dessous une couleuvre à collier). Extrait :

table de la loi normale

Pour obtenir la table des fractiles de la loi normale centrée réduite, le principe est le même mais on utilise la fonction standard INVERSE (ou, ci-dessous NORMSINV avec Google Documents. Dans un louable souci de clarté, la couleuvre est partie) :

fractiles de la loi normale

Ainsi, retenons 95 % de la distribution en excluant 2,5 % de part et d’autre (les valeurs les plus faibles et les plus élevées), pour chercher la probabilité de 0,025 (ligne 0,02 et colonne 0,005). Nous constatons qu’il faut accepter les valeurs comprises entre ± 1,96 écart-type autour de la moyenne. L'exclusion des 5 % les plus faibles (donc d’un seul côté de la distribution), revient à chercher une probabilité de 0,05. La table montre que les valeurs situées en-deçà de 1,6449 écart-type au-dessous de la moyenne sont refusées.

Exemple : revenons à notre problème d’embouteilleuse. Au moins 95 % des bouteilles doivent contenir 99 cl ou plus. Sur quelle contenance régler l’embouteilleuse ?

Ceci revient à déterminer une nouvelle espérance. En page exemples d’utilisations de la loi normale est indiquée la méthode « manuelle » pour y parvenir, avec l’aide de la loi normale centrée réduite. Traduite en formule Excel, ceci donne :

=99+(LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(0,95)*1,5)

Excel fournit une réponse sans délai : 101,4676. Mais aussi amicale soit-elle, cette aide de la loi centrée réduite n’est pas indispensable puisqu’on peut entrer directement :

=LOI.NORMALE.INVERSE(0,95;99;1,5)

 

daura lex sed lex

 

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