Distribution de Gumbel
Sympathique outil de prévision des catastrophes, la loi de Gumbel est une loi de probabilité continue dont les applications à l’économie sont réservées à quelques domaines particuliers, notamment la finance de marché et les assurances. Malgré tout, elle reste assez méconnue en-dehors de l’hydrologie et elle se fait rarement inviter dans les ouvrages de statistiques et les logiciels.
Cette page n'expose qu’une succincte présentation théorique, sans application.
Présentation
Soit une variable aléatoire (v.a) qui suit une loi normale, une loi exponentielle ou une loi gamma. Les observations permettent de constater des valeurs maximales. Ces dernières étant elles-mêmes des v.a, elles vont suivre une autre loi de probabilité lorsqu’elles seront extraites d’un grand nombre d’échantillons. Cette loi a de bonnes chances d'être celle de Gumbel.
Exemple : soit des temps d’attente à un standard téléphonique dont la distribution quotidienne est gaussienne. On relève chaque jour la durée maximale d’attente. Sur l’année, il est probable que la distribution de ces durées maximales soit de Gumbel.
Cette loi utilise un paramètre de position \(x_0\) et un paramètre d’échelle, ou d’étalement, strictement positif, noté \(a.\) L’expression de sa fonction de densité est de toute beauté :
\(f(x)\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{\exp \left[-e^{-\frac{x - x_0}{a}}\right]}{a} \exp\left(-\frac{x - x_0}{a} \right)}\)
Forme standardisée
La forme standardisée paraît tout de même moins baroque : \(f(x) = \displaystyle{e^{-x-e^{-x}}}.\) Sa représentation graphique permet de visualiser l’asymétrie de la distribution (réalisation sur SineQuaNon) :
Fonction de répartition
Quant à la fonction de répartition :
\(F(x)\) \(=\) \(\exp \left( - \exp \left[ - \frac{x- x_0}{a} \right] \right)\)
Là aussi, la forme standardisée est plus simple : \(F(x) = \exp (- e^{-x}).\)
Note : pour s'amuser à dériver \(F\) et obtenir \(f\) et pour déterminer \(f'\) afin d'étudier les variations de \(f,\) voir la page d'exercices de dérivation avec exponentielles (niveau terminale).
Indicateurs
Voyons à présent quels sont les moments et autres paramètres de position de la loi.
L’espérance de la forme standardisée est égale à la constante d’Euler-Mascheroni (0,57721566…) habituellement notée \(\gamma\) (gamma). L’objet de ce site n’étant pas de présenter les nombres particuliers, nous vous renvoyons à l’article de Wikipedia pour percevoir toute la magie de ce nombre… L’espérance de la forme générale est \(x_0 + a \gamma .\)
Comme vous l’avez deviné, la standardisation n’est pas réalisée sur la moyenne puisque l’espérance n’est pas égale à 0. Elle l’est sur la médiane, d’ailleurs égale au mode. Sous la forme générale de la loi, ces paramètres sont respectivement \(x_0 - a \ln(\ln 2)\) et \(x_0.\)
La variance se présente ainsi…
\(\rm{Var}(x) = \displaystyle{\frac{\pi^2}{6} a^2}\)
Bien sûr, \(a^2\) disparaît de la forme standardisée…
Propriété
La distribution de Gumbel possède une autre particularité. Le rapport de deux v.a identiques et indépendantes distribuées selon une loi normale suit cette loi.
Mais encore...
La fonction de densité de la loi de Gumbel standardisée fait l'objet d'un exemple d'étude en page de convexité d'une fonction d'une variable.
