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(et fondements mathématiques)

Deux exercices sur la loi exponentielle

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Autour de la loi exponentielle (niveau bac S)

Il existe sur ce site une page consacrée à la loi exponentielle. En guise de complément, nous vous proposons ici deux exercices. Plutôt théoriques, ils intéresseront davantage les étudiants et les lycéens (terminale S) que les professionnels.

Le premier exercice est le moins opérationnel des deux puisqu’il s’agit de trouver la fonction de répartition de cette loi de probabilité à partir de la fonction de densité. Le second est tiré des annales du bac S (France métropolitaine, juin 2004).

Exercice 1

Soit la fonction suivante :

fonction de densité

On ne se préoccupera que du cas où x est positif, l’autre étant d’un intérêt plus que limité…

À quoi est égale l’intégrale de cette fonction entre 0 et x ?

Corrigé

intégration

On obtient la fonction de répartition. Franchement, ça n’est pas difficile…

Exercice 2

On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d’un composant électronique. On modélise cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ : la probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de t semaines est :

exemple bac S

Une étude statistique, montrant qu’environ 50 % d’un lot important de ces composants sont encore en état de marche au bout de 200 semaines, permet de poser p([0 ; 200[) = 0,5.

1- Montrer que λ = ln 2 / 200.

Reprenons l’identité de l'exercice 1...

question 1

On sait que cette expression doit être égale à 0,5. Il suffit d’utiliser les logarithmes pour résoudre cette équation : -exp(-200λ) = -0,5.

développement

2- Quelle est la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 300 semaines ? On donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale au centième près.

Pour répondre à cette question, on part de la probabilité complémentaire puis on remplace le paramètre λ par la valeur que nous venons de trouver.

question 2

L’arrondi de ce curieux nombre est plus parlant : 0,35.

3- On admet que la durée de vie moyenne dm de ces composants est la limite quand A tend vers +∞ de :

intégrale

a) Montrer que :

pour démo de l'espérance

b) En déduire dm : on donnera la valeur exacte et une valeur approchée à la semaine près.

Nous devons trouver l’espérance d’une loi exponentielle grâce à une intégration par parties.

Il s’agit d’un exemple mais la démonstration serait identique pour le cas général.

Considérons u(x) = x et v’(x) = λ exp(-λx), ce qui nous amène à u’(x) = 1 et à v(x) = -exp(-λx).

étapes de calcul

Procédons au calcul de la limite. Mais remarquons un petit piège : l’énoncé impose de trouver une expression qui n’est pas idéale pour déterminer la limite à l’infini. Il est plus judicieux d’utiliser l’avant-dernière expression ci-dessus.

Il est entendu que λ est positif.

Premier terme. Nous savons que :

limite

Mais cette limite est à multiplier par A. Levons l’indétermination grâce aux croissances comparées.

croissances comparées

Deuxième terme. Considérant ce que nous venons d'établir, il est évident que la limite du deuxième terme tend aussi vers zéro.

Troisième terme. Il ne reste plus que 1 / λ.

Par somme, la limite de notre expression est égale à 0 + 0 + 1 / λ = 1 / λ et nous retrouvons bien l’espérance d’une loi exponentielle.

La question 1 nous avait permis d’établir que λ = ln 2 / 200. Par conséquent, la durée de vie moyenne d’un composant s'obtient par l'inverse de ce nombre, soit 200 / ln 2 ou pour être plus clair environ 289 semaines.

 

loi exponentielle ?

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés