Loi normale et intervalle de confiance
Cette page vous propose un sujet de l'ancien bac ES sur les lois à densité. Les candidats polynésiens ont planché dessus en juin 2013. Aujourd'hui, la loi normale n'est plus au programme du secondaire. Par conséquent, le sujet qui vous est proposé ici intéressera plutôt les étudiants.
Sujet
- On s’intéresse à une espèce de poissons présente dans deux zones différentes (zone 1 et zone 2) de la planète.
- A. Étude de la zone 1
- On note \(X\) la variable aléatoire qui à chaque poisson observé dans la zone 1 associe sa taille en cm.
- Une étude statistique sur ces poissons de la zone 1 a montré que la variable aléatoire \(X\) suit une loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-type \(σ = 30.\) La courbe de la densité de probabilité associée à \(X\) est représentée ci-dessous.
- 1- Par lecture graphique, donner la valeur de \(μ.\)
- 2- On pêche un de ces poissons dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à \(10^{-2},\) d’avoir un poisson dont la taille est comprise entre 150 cm et 210 cm.
- 3- Un poisson de cette espèce de la zone 1 est considéré comme adulte quand il mesure plus de 120 cm.
- On pêche un poisson de l’espèce considérée dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à \(10^{-2},\) de pêcher un poisson adulte.
- 4- On considère un nombre \(k\) strictement plus grand que la valeur moyenne \(μ.\)
- Est-il vrai que \(P(X < k) < 0,5\) ? Justifier.
- B. Étude de la zone 2
- 1- Certains poissons de la zone 2 sont atteints d’une maladie. On prélève de façon aléatoire un échantillon de 50 poissons de cette espèce dans la zone 2 et on constate que 15 poissons sont malades.
- a) Calculer la fréquence \(f\) de poissons malades dans l’échantillon.
- b) Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de \(95\%,\) de la proportion \(p\) de poissons malades dans toute la zone 2. On arrondira les bornes au millième.
- 2- Soit \(Y\) la variable aléatoire qui, à chaque poisson de l’espèce considérée de la zone 2, associe sa taille en cm. On admet que la variable aléatoire \(Y\) suit la loi normale de moyenne \(μ = 205\) et d’écart-type \(σ’ = 40.\)
- En comparant avec le graphique de la zone 1 donné à la question 1 qui représente une loi normale d’écart-type \(σ = 30,\) dire laquelle des trois courbes ci-dessous représente la densité de probabilité de la variable aléatoire \(Y.\) Justifier la réponse.
- Courbe 1
- Courbe 2
- Courbe 3
Corrigé
A. 1- La courbe représentative de la fonction de densité de la loi normale admet comme axe de symétrie la droite d’équation \(x = 150.\) Donc \(μ = 150.\)
2- La probabilité d’avoir un poisson dont la taille est comprise entre 150 et 210 cm est donnée par \(P(150 \leqslant X \leqslant 210).\) Selon la calculatrice, cette probabilité arrondie au centième s’élève à 0,48 (voir l’utilisation de la calculatrice en page de loi normale en terminale).
3- Nous cherchons \(P(X \geqslant 120).\) Selon la calculatrice, la probabilité arrondie au centième de pêcher un poisson adulte est de 0,84 (on peut utiliser la calculatrice de la même façon que pour la question précédente mais avec 120 comme borne inférieure et un nombre très grand, par exemple 9999, comme borne supérieure).
4- Comme l’espérance de la loi est \(μ,\) il est impossible que \(P(X < k)\) soit strictement inférieure à 0,5. En effet, nous savons que \(P(X < μ) = 0,5.\) Comme \(k > μ,\) alors \(P(X < k) > 0,5.\)
B. 1- a) \(f = \frac{15}{50} = 0,3.\) La fréquence de poissons malades dans l’échantillon est de 0,3.
b) Utilisons la fréquence observée \(f\) dans cet échantillon pour estimer un intervalle de confiance au niveau de \(95\%\) de la proportion de poissons malades dans la population de la zone 2.
Rappelons la formule :
\(\displaystyle{I = \left[f - \frac{1}{\sqrt{n}}\,; f + \frac{1}{\sqrt{n}} \right]}\)
Rappelons aussi les conditions de validité : \(n \geqslant 30,\) \(nf \geqslant 5\) et \(n(1 - f) \geqslant 5.\) Comme ici \(n = 50,\) \(nf = 15\) et \(n(1 - f) = 35,\) la formule peut être appliquée.
\(\displaystyle{\left[0,3 - \frac{1}{\sqrt{50}}\,; 0,3 + \frac{1}{\sqrt{50}} \right]}\) \(\approx\) \([0,158\,; 0,442]\)
Remarque sur la règle des arrondis appliquée aux intervalles : par défaut pour la borne inférieure et par excès pour la borne supérieure.
2- La variable aléatoire \(Y\) ayant pour moyenne 205, l’axe de symétrie de la courbe est la droite d’équation \(x = 205.\) Nous éliminons donc la courbe 3. L’écart-type étant plus grand que 30, la distribution est plus étalée que celle observée en zone 1 (partie A). Donc sa représentation graphique est plus aplatie. C’est la courbe 1 qui représente la densité de probabilité de \(Y.\) Félicitations à la courbe 1.
