Extrait d'une épreuve de maths de bac
Selon la théorie économique, il existe pour un produit donné un prix qui équilibre l’offre et la demande et à ce prix correspond une certaine quantité échangée. En-deçà de celle-ci, certains consommateurs étaient prêts à payer le produit plus cher. Globalement, les économies qu'ils réalisent est le surplus des consommateurs. Mais il existe aussi des producteurs qui gagnent à vendre au prix d’équilibre car ils étaient prêts à brader leur production à un prix plus bas. C’est le surplus des producteurs.
Le surplus
Si f est la fonction d’offre et g est la fonction de demande, si p0 est le prix d’équilibre et si q0 est la quantité correspondante, le surplus des consommateurs s’écrit ainsi :
Le surplus des producteurs s'en déduit simplement (voir l'énoncé ci-dessous).
Illustration (le surplus des producteurs est l’aire verte et celui des consommateurs est en rose) :
Afin d’illustrer ceci, voici un extrait de sujet de bac ES (Antilles 2006).
Énoncé
Une nouvelle console de jeux est mise sur le marché. Soit x le prix unitaire en centaines d’euros de cette console.
La fonction d’offre des fournisseurs (en milliers de consoles) est la fonction f définie sur ]0 ; 6] par f(x) = 0,7e0,5x+2 où f(x) est la quantité proposée par les fournisseurs pour un prix unitaire de x.
La fonction de demande des consommateurs (en milliers de consoles) est la fonction g définie sur ]0 ; 6] par g(x) = 10 ln(20 / x) où g(x) est la quantité demandée par les consommateurs pour un prix unitaire de x.
1. Les courbes représentatives Cf et Cg des fonctions f et g sont tracées dans le repère (O ; i ; j) orthogonal fourni en annexe.
a) Identifier les courbes Cf et Cg des fonctions f et g sur la feuille annexe. Expliquer votre choix.
b) Que représente le point A d’un point de vue économique ? Lire ses coordonnées (x0 ; y0) sur le graphique.
2. Pour déterminer les coordonnées de A de façon précise, on est amené à résoudre l’équation f(x) = g(x). On pose, pour tout x appartenant à ]0 ; 6], h(x) = f(x) – g(x).
a) Montrer que h’(x) = 0,35e(0,5x+2) + (10 / x).
b) Étudier le signe de la dérivée h’ et en déduire le sens de variation de h.
c) Démontrer que l’équation h(x) = 0 admet une solution unique x0 sur l’intervalle [2 ; 3]. Déterminer alors la valeur arrondie au dixième de x0 à l’aide de la calculatrice.
d) En déduire le prix unitaire d’équilibre de cette console en euros et le nombre de consoles disponibles à ce prix (arrondi à la centaine).
3. Surplus des fournisseurs. On prendra dans cette question x0 = 2,7 et y0 = 20.
a) Déterminer une primitive F de f sur l’intervalle ]0 ; 6].
b) On appelle surplus des fournisseurs le nombre S.
Ce nombre représente une aire. Représenter cette aire sur le graphique de l’annexe. Calculer S.
Éléments de correction
1. a) On peut donner deux types de réponse. Le premier type est d’ordre économique. Il est évident que l’offre croît avec le prix et que la demande décroît. Le second type de réponse, qui était sans doute attendu ici, est d’ordre mathématique. Il existe plusieurs possibilités de réponse, par exemple en s’appuyant sur les limites ou, plus simplement, en calculant f(0) (puisque g(0) n’a pas le bonheur d’exister). f(0) est environ égal à 5,17. Donc la courbe qui monte représente bien f.
b) Le point où se croisent l’offre et la demande est celui du prix d’équilibre et de la quantité d’équilibre. Grosso modo, A(2,7 ; 20).
2. a) L’énoncé va nous conduire à une technique astucieuse. Au lieu d’analyser nos deux fonctions f et g, nous en analyserons une troisième qui est leur différence.
Calculons la dérivée de cette différence, h’(x).
b) Sachant que x est positif, le signe de h’ est positif. Donc h est strictement croissante (plus le prix est élevé, plus il y a d’offre par rapport à la demande).
c) Nous venons de voir que h est strictement croissante sur ]0 ; 6], donc elle l'est entre 2 et 3. Ce qui nous autorise à dégainer ce bon vieux théorème des valeurs intermédiaires.
Calculons h(2) = -8,97 et h(3) = 4,21. Comme f(2) et f(3) sont de signes contraires, la valeur 0 est une valeur intermédiaire entre f(2) et f(3). La fonction étant monotone sur cet intervalle, l’équation f(x) = 0 admet une solution et pas une de plus sur [2 ; 3].
L’aide généreuse de la calculatrice nous permet d’affirmer, l’esprit libéré de toute incertitude, que x n’est pas très loin de 2,7.
d) Comme x représente un prix en centaines d’euros, le prix d’équilibre s’élève à 270 € par console. Le nombre de consoles disponibles à ce prix d’équilibre est donné par f(2,7) = 19,952, soit 20 000 unités.
3. L’énoncé confirme d’une part la justesse de nos calculs et d’autre part la grande mansuétude de l’Éducation Nationale pour les futurs bacheliers.
a) Une primitive d’une fonction exponentielle :
b) La représentation graphique du surplus des producteurs est similaire à celle qui figure en haut de cette page. Quant au calcul…
