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(et fondements mathématiques)

Quelques exercices simples de trigonométrie

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Exercices de trigonométrie (niveau seconde)

Vous tournez en rond sur le web à la recherche d’exercices de trigonométrie ? Faites comme la droite numérique qui s’enroule autour du cercle : arrêtez de tourner et positionnez-vous. En l’occurrence ici. En effet, sur cette page vous trouverez des exercices de trigonométrie du niveau d’une classe de seconde. Corrigés, bien sûr. Bande de veinards.

1- Exercices sur l’enroulement de la droite numérique

A- Placer sur le cercle trigonométrique les points associés aux réels suivants :

pi, 7pi/4 et -2pi/3

B- Sur le cercle trigonométrique sont placés les points A et B associés respectivement aux réels…

7pi/3 et -23pi/4

Donner les nombres réels compris entre -π et π qui leur sont associés.

2- Exercices sur sinus et cosinus

A- Sans l’aide de la calculatrice, calculer l’expression :

sin pi/6 + sin 13pi/6

B- Déterminer un réel A tel que :

cos et sin

Corrigés détaillés 1

A- Sachant qu’un tour complet équivaut à 2π, il est facile de placer π. Ensuite, si l’on divise le demi-cercle par 4, il suffit pour placer le deuxième point de compter sept quarts dans le sens trigonométrique.

cercle trigo

Le dernier point à placer correspond à une valeur négative. C’est donc dans le sens horaire qu’il faut avancer. Le cercle a été partagé en 6. Il est alors facile de situer les deux tiers d’un demi-cercle.

B- Cet exercice prépare bien à la première S (voir la page mesures principales). Il faut décomposer la fraction de façon à faire apparaître un multiple de 2π.

Par exemple :

7pi/3 = 2pi + pi/3

On élimine 2π (un tour complet du cercle) et c’est donc π / 3 qui est associé à A.

Pour déterminer le nombre associé à B, il faut trouver un nombre proche de 23 qui soit le multiple de 4 et d’un nombre pair. 23 se situe entre 24 (soit 6 × 4) et 16.

Soit on pose :

1ère possibilité

Soit on pose :

2ème possibilité

Dans les deux cas, on ne s’intéresse qu’au second terme puisque le premier correspond à un nombre de tours complets du cercle. Or, l’énoncé précise que le réel cherché doit se situer entre -π et π. La réponse est donc π / 3. La seconde valeur aurait été la bonne réponse si nous avions cherché un réel compris entre -2π et 0.

Corrigés détaillés 2

A- Ne pas utiliser la calculatrice implique de connaître les valeurs remarquables. En l’occurrence, sin π / 6 = 0,5 (voir page trigonométrie).

Par ailleurs, 13π / 6 = 12π / 6 + π / 6 (si vous avez fait l’exercice précédent, vous l’avez deviné).

Donc 13π / 6 = 2ππ / 6.

Il s’ensuit que le sinus de 13π / 6 n’est autre que le sinus de π / 6. Donc une nouvelle fois 0,5.

Ainsi l’expression est égale à 0,5 + 0,5 = 1 (tout ça pour ça !).

B- Là encore, nous pouvons étaler notre science à condition de connaître les valeurs remarquables.

Nous savons que :

cos pi/4 = rac2/2

Or nous cherchons l’opposé. À partir du cercle trigonométrique, il est facile de déterminer les cosinus par symétrie. Soit cos 3π / 4 et cos -3π / 4.

Nous savons aussi que :

sin pi/4 = rac2/2

Si vous maîtrisez le cercle trigonométrique, vous savez que sin 3π / 4 est aussi égal à cette valeur. Nous avons ainsi trouvé la valeur commune : 3π / 4.

 

 

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