Voici peut-être le souvenir d’école le plus lointain que ce site évoquera mais j’ai pensé qu’il pourrait être pratique d’avoir à portée de souris quelques règles de base parfois oubliées.

Les techniques statistiques n’ignorent pas la trigonométrie. Les contributions aux axes des ACP font intervenir les cosinus, certaines techniques prévisionnelles utilisent les fonctions circulaires, etc.

Radians et angles

Dans le système international, le radian est la mesure d’angle. L’angle plat, qui est, rappelons-le au passage, la somme des trois angles d'un triangle, mesure π radians. Un angle dont la valeur est comprise entre l’angle nul et l’angle plat (aigu si inférieur à l’angle droit, obtus sinon) est saillant. Sinon, il est rentrant.

En statistiques et en analyse de données, on n’utilise jamais les degrés.

Un angle se mesure en sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens trigonométrique.

Le cercle trigonométrique

C’est un cercle de centre 0 et de rayon 1. La longueur d’un arc de cercle étant égale au rayon multiplié par l’angle en radians, c’est donc tout simplement la valeur de l’angle puisque multipliée par 1.

Deux vecteurs d’origine 0 forment un angle orienté (ici l’axe des abscisses et la demi-droite rouge).

On voit qu'à l'intérieur du cercle le vecteur rouge OM est égal à un vecteur horizontal (le cosinus) plus un vecteur vertical (le sinus).

La demi-droite rouge coupe une droite verticale (en vert) en un point appelé tangente. Cette droite est de coordonnée x = 1.

La circonférence du cercle trigonométrique est de 2π. On peut donc ajouter ce nombre autant de fois qu’on le souhaite à un sinus, un cosinus ou une tangente, on obtient toujours le même résultat : sin 0 = sin 2π, par exemple.

Les valeurs de alpha à connaître (ou tout simplement à déduire du cercle) sont les suivantes :

Les sinus et cosinus de π / 4 (soit 45° en langage courant) sont faciles à retenir si l’on sait que la diagonale d’un carré de côté 1 est égale à racine de 2 (Cf. ce cher théorème de Pythagore). C’est la « première bissectrice » qui partage la racine de deux en parties égales.

Quel que soit l’angle a, nous avons tan a = sin a / cos a.

Les valeurs des sinus et cosinus sont toujours comprises entre -1 et 1.

La formule à connaître par-dessus tout est l’identité (cos x)² + (sin x)² = 1, qui s’écrit plus couramment cos² x + sin² x = 1. Le cos² est particulièrement utilisé en analyse des données lorsqu’on mesure des angles par rapport à un axe et qu’on raisonne en carrés des distances. Voir aussi les formules d'addition et de duplication.

Le cercle permet de deviner de nombreuses identités : par exemple, cos(x + π / 2) = -sin x ou encore sin(π – x) = sin x... Leur connaissance ou leur déduction sont d'une grande utilité lorsqu'on travaille sur des fonctions trigonométriques.

Le triangle rectangle

Une autre façon d’aborder sinus et cosinus consiste à explorer un triangle rectangle.

On s’attache à l’angle formé par les côtés qui se rejoignent en A. Comme leurs noms l’indiquent, le côté opposé est celui qui exclut le point A et le côté adjacent est celui qui est borné par lui.

Si l’on mesure les trois longueurs et qu’on obtient h pour l’hypoténuse, o pour l’opposé et a pour l’adjacent, on résume ainsi :

Sinus = o / h
Cosinus = a / h
Tangente = o / a

Je vous laisse le soin de faire le lien entre les présentations du cercle trigonométrique et du triangle rectangle…

Leurs inverses respectifs sont :

Cosécante (cosec) = h / o
Sécante (sec) = h / a
Cotangente (cotg) = a / o.