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(et fondements mathématiques)

Une introduction à la trigonométrie

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Cercle trigonométrique et triangle rectangle

Les règles de trigonométrie sont fondamentales en mathématiques appliquées. Elles sont introduites dès la classe de quatrième mais sont surtout abordées à partir de la seconde, lorsque le degré fait place au radian. C'est donc aux élèves de seconde que cette page est prioritairement destinée.

Le mot trigonométrie vient du grec. Il signifie mesure des triangles. À partir de la longueur des côtés d'un triangle, on mesure ses angles. On estime que cette branche des mathématiques a été fondée par Hipparque, astronome grec du deuxième siècle av. J.C, mais il est probable qu'il ait juste apporté une contribution, certes majeure, à des connaissances plus anciennes.

Rappels du collège

Une façon d’aborder sinus et cosinus consiste à explorer un triangle rectangle.

triangle rectangle

Intéressons-nous à l’angle Â. Comme leurs noms l’indiquent, son côté opposé est celui qui exclut le point A et son côté adjacent est celui qui est borné par lui (et qui n'est pas l'hypoténuse). Soit les longueurs h pour l’hypoténuse, o pour l’opposé et a pour l’adjacent, on résume ainsi :

Sinus = o / h
Cosinus = a / h
Tangente = o / a

Elles ne sont pas au programme du collège ou de seconde mais, pour complément d'information, voici leurs inverses respectives :

Cosécante (cosec) = h / o
Sécante (sec) = h / a
Cotangente (cotg) = a / o
.

NB : les propriétés du triangle rectangle sont aussi traitées en page théorème de Pythagore.

Angles

Lorsqu'on mesure un angle en degrés, il n'a pas de sens. En radians, un angle se mesure en sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens trigonométrique. Tous les détails en page angles orientés (niveau première S).

Le cercle trigonométrique

C’est un cercle de centre O et de rayon 1. La longueur de tout arc de cercle étant égale au rayon multiplié par l’angle exprimé en radians, cette mesure vaut ici tout simplement la valeur de l’angle puisqu'elle est multipliée par 1.

Deux demi-droites d’origine O forment un angle α (ici l’axe des abscisses et la demi-droite rouge).

cercle trigonométrique

On voit qu'à l'intérieur du cercle le vecteur rouge OM est égal à un vecteur horizontal (le cosinus) plus un vecteur vertical (le sinus).

sinus + cosinus

La demi-droite rouge coupe la droite verticale d'expression x = 1 (en vert) en un point appelé tangente.

La circonférence du cercle trigonométrique est de 2π. On peut donc ajouter ce nombre autant de fois qu’on le souhaite à un sinus, un cosinus ou une tangente, on obtient toujours le même résultat : sin 0 = sin 2π, par exemple. Sur le principe d'enroulement du cercle trigonométrique, voir la page enroulement du cercle et rapporteur trigonométrique.

Les valeurs d'angle à connaître (ou tout simplement à déduire du cercle) sont les suivantes :

valeurs d'angles

Le cercle ci-dessous illustre que le sinus de π / 6 est égal à ½ tandis que le cosinus est égal à la moitié de racine de 3. Par définition, les valeurs prises par les sinus et cosinus sont toujours comprises entre -1 et 1.

pi sur 6

Quel que soit l’angle α, nous avons tan α = sin α / cos α.

La formule à connaître par-dessus tout est l’identité (cos x)² + (sin x)² = 1, qui s’écrit plus couramment cos² x + sin² x = 1.

Le cercle trigonométrique permet de deviner de nombreuses identités : par exemple, cos(π / 2) = -sin x ou encore sin(π – x) = sin x... À partir de la classe de première S, leur connaissance est indispensable pour travailler sur des fonctions trigonométriques ou, plus simplement, pour résoudre des équations trigonométriques. En outre, la mesure d'angle permet de passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires et une bonne connaissance du cercle facilite certains calculs relatifs aux produits scalaires (formule du cosinus).

 

 

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