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(et fondements mathématiques)

Une introduction à la trigonométrie

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Trigonométrie en degrés

Cette page vous remémorera les notions de trigonométrie étudiées au collège. Il s'agit d'une introduction qui pose quelques définitions et propriétés. Les mesures en radians ne sont pas abordées. Mais bien sûr, si après lecture vous restez sur votre faim, de nombreuses pages traitent de la trigonométrie sur ce site...

Partons du triangle rectangle. Certaines de ses propriétés sont rappelées en page théorème de Pythagore mais elles ne concernent pas directement les angles. Ici, nous ferons le lien entre angles et longueurs.

Pour préciser les choses, vous savez déterminer un angle si vous connaissez les deux autres (propriété de tous les triangles), vous savez déterminer une longueur si vous connaissez les deux autres (propriété de Pythagore) et grâce à la trigonométrie vous saurez déterminer soit un angle en connaissant deux longueurs, soit une longueur en connaissant un angle et une autre longueur.

triangles rectangles

Définitions et propriétés

Soit un triangle ABC rectangle en C. L’hypoténuse est donc AB. Les autres côtés seront nommés différemment selon l’angle auquel on s’intéresse.

Prenons l’angle Â. Comme leurs noms l’indiquent, son côté opposé est celui qui exclut le point A et son côté adjacent est celui qui est borné par lui (et qui n'est pas l'hypoténuse).

triangle rectangle

Les définitions sont alors les suivantes (rappelons que nous sommes dans le cas où le triangle est rectangle en C) :

cos A = AC / AB

sin A = BC / AB

tan A = BC / AC

Formulation générale. Soit les longueurs h pour l’hypoténuse, o pour l’opposé et a pour l’adjacent, on résume ainsi :

Sinus = o / h
Cosinus = a / h
Tangente = o / a

C'est le fameux SOH CAH TOA, moyen mnémotechnique pour ceux qui maîtrisent mal les définitions.

Propriété : la tangente d’un angle aigu est un nombre strictement positif puisque c’est son sinus divisé par son cosinus.

Autre propriété fondamentale : pour tout angle aigu  on a cos² Â + sin²  = 1.

Ces définitions et ces propriétés apparaissent dans le tableau d’exemples ci-dessous. Les valeurs, obtenues avec une calculatrice, sont arrondies au millième.

Mesure de l’angle  10° 30° 45° 60° 80°
cos  0,985 0,866 0,707 0,500 0,174
sin Â 0,174 0,500 0,707 0,866 0,985
tan  0,176 0,577 1 1,732 5,671
(cos Â)² 0,970 0,750 0,500 0,250 0,030
(sin Â)² 0,030 0,250 0,500 0,750 0,970
(cos Â)² + (sin Â)² 1 1 1 1 1
sin  / cos  0,176 0,577 1 1,732 5,671

Vous pouvez d’ailleurs déduire de ce tableau d’autres propriétés tout aussi intéressantes…

Attention à ne pas confondre le sinus et le cosinus d’un angle aigu qui sont des rapports compris entre 0 et 1 et la mesure de l’angle qui est comprise entre 0° et 90°.

Calculs de longueurs et mesures d’angles

Grâce aux formules ci-dessus, on peut calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle si l’on connaît celle d’un autre côté et la mesure d’un angle aigu. De même, on peut déterminer l’angle d’un triangle rectangle en connaissant les longueurs de deux de ses côtés.

Exemple de calcul de longueur (épreuve du brevet de Nouvelle-Calédonie, décembre 2015).

Un vendeur souhaite rendre son magasin plus accessible aux personnes en fauteuil roulant. Pour cela il s’est renseigné sur les normes et a décidé d’installer une rampe avec une pente de 3 degrés comme indiqué sur le schéma suivant.

Calculer la longueur AB, arrondie au centimètre, pour savoir où la rampe doit commencer.

On connaît BC et on cherche AB qui sont respectivement les côtés opposé et adjacent de Â. Nous utilisons donc la formule de la tangente.

tan A = CB / AB

Donc AB × tan 3 = 30. Avec la calculatrice, on trouve AB  572,434. Si l’on considère que 3° est la limite supérieure de la pente (ce que l’énoncé ne précise pas), on arrondit à 573. La longueur AB doit être d’au moins 573 cm.

 

 

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