Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les triangles

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Quelques propriétés des triangles

Cette page est un aide-mémoire sur les triangles. Elle ne se rattache à aucun programme scolaire en particulier mais seuls les termes enseignés au collège sont définis. Parmi une multitude de propriétés, seules quelques-unes sont énoncées.

Angles

La somme des mesures des trois angles vaut 180°.

Aires

Définissons d’abord la hauteur et la base d’un triangle.

La base est l’un des côtés du triangle. La hauteur est la distance qui relie perpendiculairement la base au troisième sommet du triangle. On a donc trois bases possibles avec trois hauteurs associées.

Soit b la base et h la hauteur. L’aire est égale à 0,5 bh.

Dans l’exemple ci-dessous, b = 6 et h = 4. Donc l’aire du triangle est de 6 × 4 × 0,5 = 12.

hauteur

C’est AC qui a été choisi pour base parce dans cet exemple il s’agit du côté le plus pratique à utiliser mais nous aurions pu prendre AB ou BC. La hauteur aurait été différente mais nous serions bien retombés sur une aire de 12.

L’aire de ce triangle est aussi celle d’un rectangle qui aurait pour longueur b et pour largeur la moitié de h. Preuve visuelle ci-dessous, on ampute notre triangle initial de deux triangles rectangles que l’on déplace pour obtenir un rectangle de 12 carreaux.

triangle et rectangle

Inégalité triangulaire

La longueur de chaque côté d’un triangle est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Cette règle permet de savoir si l’on peut construire un triangle à partir de trois mesures de segments. Elle est aussi réutilisée au lycée (voir la page fonction valeur absolue).

Droites remarquables

La médiatrice d’un segment est la droite qui lui est perpendiculaire et qui passe par son milieu. Un triangle a donc trois médiatrices. Celles-ci se croisent en un unique point qui est le centre du cercle circonscrit du triangle.

médiatrices

Les médianes d’un triangle sont les droites qui passent par l’un de ses sommets et par le milieu du côté opposé. Elles sont sécantes en un seul point, le centre de gravité du triangle.

Une médiane coupe le triangle en deux triangles de même aire et les trois médianes découpent le triangle en six triangles de même aire :

Une propriété est que le centre de gravité se situe aux ⅔ de chaque médiane en partant du sommet.

La bissectrice d'un angle est la demi-droite issue du sommet de l'angle et qui le partage en deux parties égales. Voir illustration et propriété en page cercle et tangente.

Triangles égaux et semblables

Deux triangles sont égaux si et seulement si leurs côtés sont de même longueur deux à deux. Il s’ensuit que leurs angles sont de même mesure deux à deux. Deux triangles égaux sont donc superposables.

Deux triangles sont semblables si et seulement si leurs angles sont de même mesure deux à deux. Les côtés des deux triangles sont donc proportionnels deux à deux (les triangles semblables ont la même forme mais l’un peut être plus petit que l’autre).

Triangles particuliers

Si un triangle ABC est isocèle en A, cela signifie que AB et BC sont de même longueur, que les angles en B et en C ont même mesure et que la médiatrice de [BC] est un axe de symétrie du triangle ABC (formant deux triangles rectangles de mêmes mesures).

Le triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur. Chaque angle mesure 60°. Les médiatrices de ses trois côtés sont des axes de symétrie du triangle.

Le triangle rectangle a un angle droit. Le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse. Sa propriété la plus célèbre est énoncée par le théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres longueurs. Autre propriété, qui a quitté les programmes du collège : l’hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit du triangle.

Un triangle rectangle peut être isocèle mais pas équilatéral.

 

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés