Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le trapèze

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Présentation des trapèzes

Une page consacrée à une figure géométrique connue de tous mais qui, comme tout objet mathématique, recèle certainement quelques mystères.

Qu’est-ce qu’un trapèze ? C’est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles. Ces côtés sont les bases du trapèze. Habituellement, on ajoute la condition de convexité car on considère qu’un nœud papillon n’a rien de trapézoïdal.

Diversité

À partir de cette définition, il apparaît que certaines formes géométriques bien connues sont des cas particuliers de trapèzes. Par exemple, un carré en est forcément un.

Autre cas particulier : un trapèze rectangle possède deux angles droits (il ne peut pas en avoir un seul). Il n’a pas d’axe de symétrie. Exemple ci-dessous (réalisé avec GeoGebra).

Trapèze rectangle

Enfin, le trapèze isocèle possède, lui, un axe de symétrie. Ses côtés non parallèles ont la même longueur. Ainsi, les angles adjacents à une même base sont égaux. Quant aux diagonales, elles ont la même mesure. Si un trapèze isocèle est un parallélogramme, alors c’est un rectangle.

Trapèze isocèle

Les autres trapèzes sont quelconques (les pauvres !).

Aire

L’aire d’un trapèze est égale au produit de sa hauteur et de la moyenne des longueurs de ses deux bases.

Exemple : quelle est l’aire du trapèze PQRS ?

Exemple

Les bases sont PQ et SR. Soit PQ = 7 et RS = 10. Hauteur = 2.

aire

Le théorème du trapèze

Dans un trapèze qui n’est pas un parallélogramme, les milieux des bases et les intersections des diagonales sont alignés (diagonales à l’intérieur du trapèze mais aussi intersection des droites qui prolongent les côtés non parallèles).

Voir une figure et un exercice de géométrie analytique en page théorème du trapèze (niveau classe de seconde).

Question : soit un trapèze isocèle. Comment tracer son axe de symétrie avec une règle non graduée ?

Réponse : on trace ses diagonales (ci-dessous en bleu) puis on relie les deux points d’intersection (en rouge).

centre de gravité

Barycentre

Soit un trapèze de bases a et b et de hauteur h. Son barycentre (centre de gravité) est situé sur la médiane qui joint les deux bases (c’est logique puisqu’elle partage le trapèze en deux aires égales). Sa distance à la base a est donnée par la formule suivante :

barycentre

Comment placer géométriquement le barycentre d’un trapèze ? Tracer la médiane qui relie les deux bases (ci-dessous en violet) et tracer une diagonale de façon à faire apparaître deux triangles. Tracer leurs médianes pour placer leurs centres de gravité respectifs. Relier ceux-ci par une droite (ci-dessous en vert). L’intersection de celle-ci avec la médiane du trapèze est le point recherché (en rouge).

centre de gravité

 

 

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