Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les transformations géométriques

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Transformations dans le plan et dans le plan complexe

Cette page donne un aperçu de quelques transformations géométriques. Le vocabulaire utilisé est habituel lorsqu’on utilise des logiciels de retouche photo. Pour une approche plus détaillée des notions, mais se situant à un niveau d'étude inférieur (collège), voir la page transformations de figures.

Une transformation est une application bijective dans le plan (ou l'espace), une transformation réciproque permettant de revenir au point de départ. Il en existe de plusieurs types.

La translation

C'est le glissement d’une figure sans pivotement. Par exemple, la translation d’une courbe est obtenue en ajoutant un nombre soit à l’expression de la fonction, soit à x, soit aux deux. Ce principe vaut en géométrie euclidienne et pour les nombres complexes. Ainsi, la translation d’une figure s’opère en appliquant un même vecteur à tous ses points (Cf. page initiation aux vecteurs). On obtient une figure identique (mêmes longueurs, mêmes aires) mais située ailleurs dans le plan. C’est un simple copier-coller.

Idem sur le plan complexe. L’application qui pour tout point d’affixe z associe un autre point d’affixe z’ en lui ajoutant le complexe a est la translation de vecteur u d’affixe a.

Exemple : la transformation qui à tout point M d’affixe z associe un point M’ d’affixe z’ = z + 1 + 3i est une translation de vecteur v d’affixe a = 1 + 3i.

La réflexion

De même qu’un objet se reflète dans l’eau, son image étant inversée, une figure ou un point se reflète dans le plan par rapport à une droite. Cette dernière se trouve donc toujours à mi-chemin entre un point et son image. Exemple ci-dessous avec TracenPoche Sésamath. On voit la réflexion d’un triangle HIJ par rapport à un axe AB. Les segments de construction, en rouge, sont à angle droit de AB.

réflexion

La rotation

Nul besoin d'être un derviche tourneur pour en comprendre le principe. La figure pivote autour d’un point appelé centre de rotation. Là encore, distances et aires sont conservées. Si l’on travaille avec des nombres complexes, on doit se tourner vers leur forme exponentielle. La rotation nécessite un centre Ω d’affixe ω et un angle θ. Si z est l’affixe du point auquel on applique la rotation (pour se retrouver sur un point d’affixe z’), on a :

rotation

Certaines rotations sont à connaître, notamment les quarts de tour :

quart de tour

L’exemple suivant est extrait d’une épreuve du bac S (Amérique du nord 2008). Les épisodes précédents se trouvent en page complexes et calcul vectoriel mais je vous les résume. Nous avons trois points A, M et B d’affixes respectives  2 + i, (3 / 5) + (6 / 5)i  et 1. Enfin, une question non traitée sur cette page fait état d’un cercle (γ’) de diamètre [AB].

On désigne par M’ l’image du point M par la rotation de centre B et d’angle –π / 2. Déterminer l’affixe du point M’ et montrer que le point M’ appartient au cercle (γ’).

Pour trouver l’affixe de M’, appliquons d’abord la formule.

exemple de rotation

Donc z’ = 1 –i(z – 1) = -iz + i + 1 (voir la formule du quart de tour). Comme on connaît z :

exemple (suite)

Pour répondre au dernier point, il faut en connaître davantage sur le cercle. Pas de problème pour situer le centre, au milieu de [AB].  On trouve ω = 3 / 2 + i / 2.

Quel est le rayon du cercle ? Simple calcul de distance (voir page complexes et calcul vectoriel).

rayon

Ainsi, pour montrer que M’ se trouve bien sur le cercle, il faut vérifier que c’est cette distance-ci qui le sépare du centre Ω. Donc, même type de calcul et je vous laisse le soin de vérifier qu’on trouve bien la même chose…

L’homothétie

La forme de la figure reste la même mais sa taille change. Deux paramètres définissent la transformation : le point à partir duquel elle s’effectue et le rapport de taille. Ainsi une homothétie (O ; k) signifie qu’un vecteur OA doit être multiplié par le réel k pour obtenir un vecteur OA’. Tandis que les distances sont multipliées par |k|, les aires le sont par .

Le point invariant est celui dont l’image par l’application reste lui-même. Il est unique aussi bien pour l’homothétie que pour la rotation.

Dans l’exemple qui suit, on part d’un résultat observé pour déterminer les deux paramètres de l’homothétie. À tout point M une application f associe un point M’ tel que :

exemple

a est un réel quelconque. Cherchons les deux paramètres d’une éventuelle homothétie.

Première étape : trouver le point invariant. L’astuce consiste à utiliser le milieu de [AB]. En l’occurrence, il n’est pas bien caché puisqu’il n’est autre que M. En effet, quelle condition doit remplir M pour être égal à M’ ?

M

Si les vecteurs MA et BM sont égaux, c'est que M est le milieu de [AB].

Seconde étape : envisager M’ pas forcément égal à M. On trouvera alors le rapport d’homothétie k grâce à la relation de Chasles. Utilisons l’invariant I (qui n’est pas égal à M dans toutes les situations, c’est pourquoi on les distinguera) car la comparaison des vecteurs IM et IM’ est un très bon moyen de mettre à jour le mystérieux k...

recherche de l'homothétie

Développons.

développement

Le cas qui nous occupe est assez simple puisque, I étant le milieu de [AB], la somme de IA et IB nous donne le vecteur nul. Après factorisation, on obtient :

IM'

D’où finalement IM' = (-2a + 1)IM. Le rapport k s’établit à -2a + 1.

Terminons cette brève présentation par l’homothétie dans le plan complexe. Ici, l’homothétie de centre Ω d’affixe ω et de rapport k est tout simplement z’ – ω = k(z – ω).

 

réflexion

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés