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(et fondements mathématiques)

Le théorème du trapèze

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Exercice sur milieux et équations de droites

La géométrie n’est pas au cœur de ce site web mais les programmes de maths du lycée y ont leur place. Ainsi, divers exercices peuvent être des prétextes pour illustrer certains théorèmes.

Le théorème du trapèze est de ceux-ci. Aucun rapport avec des applications économiques mais un bon support pour que des élèves de seconde puissent s’entraîner à la géométrie analytique.

Dans un premier temps, énonçons le théorème. Ensuite, place à l’exercice (avec coordonnées de points et équations de droites et non avec vecteurs). La démonstration n’est pas reproduite ; elle peut être faite soit à partir du théorème de Thalès et des symétries, soit en utilisant les vecteurs et les propriétés de la colinéarité.

Théorème

Dans un trapèze, les milieux des côtés parallèles et les intersections des diagonales sont alignés.

Exercice

1- Dans le plan muni d’un repère (O, I, J), placer les points A(-1 ; 0), B(0 ; -2), C(-5 ; -6) et D(-8 ; 0). Tracer les six droites passant par ces points pris deux à deux.

2- Calculer les équations réduites des droites (AB), (BC), (CD) et (AD). Que peut-on en conclure ?

3- Calculer les coordonnées du point L, intersection des droites (AD) et (BC).

4- Calculer les équations réduites des droites (AC) et (BD) puis les coordonnées de leur point d’intersection J.

5- Calculer les coordonnées des points I et K, milieux respectifs des segments [CD] et [AB].

6- Calculer les coefficients directeurs des droites (IJ), (IK) et (IL).

7- Conclure.

Corrigé

1- Figure tracée à l’aide de Geogebra (pour cette question, la droite rouge ne doit pas être tracée ; l’objectif de l’exercice est justement de la définir) :

trapèze

2- Équation de la droite (AB)

La droite (AB) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées car xA  xB.

On cherche alors une équation de (AB) sous la forme y = ax + b.

coefficient directeur

Une équation de (AB) est de de la forme y = -2x + b.

Le point A appartient à (AB), donc 0 = -2(-1) + b et donc = -2. La droite (AB) a pour équation réduite y = -2x – 2.

De la même façon, on trouve (BC) : y = (4 / 5)x – 2 ; (CD) : y = -2x – 16 et (AD) : y = 0.

Les droites (AB) et (CD) ont le même coefficient directeur contrairement à (BC) et (AD). Par conséquent, ABCD est un trapèze dont les bases sont AB et CD.

3- Intersection de (AD) et (BC)

Les coefficients directeurs de (AD) et de (BC) ne sont pas égaux. (AD) et (BC) sont bien sécantes en un point L dont les coordonnées sont les solutions du système :

système

système

Les coordonnées de L sont (2,5 ; 0).

4- Équations de droites

La méthode a été détaillée en question 2. On obtient pour (AC) y = 1,5x + 1,5 et pour (BD) y = -0,25x –  2.

Les coefficients directeurs sont différents ; (AC) et (BD) se croisent donc en un point J dont les coordonnées sont solutions du système :

système

système

système

système (fin)

Les coordonnées de J sont (-2 ; -1,5).

5- Coordonnées de I, milieu de [CD]

coordonnées de I

Coordonnées de K, milieu de [AB]

coordonnées de K

6- Coefficients directeurs

I et J n’ayant pas la même abscisse, on peut calculer le coefficient directeur de (IJ) :

coefficient directeur de (IJ)

Pour (IK) :

coefficient directeur de (IK)

Pour (IL) :

coefficient directeur de (IL)

7- Conclusion

Les droites (IJ), (IK) et (IL) ayant le même coefficient directeur, elles sont parallèles. Comme elles ont en commun le point I, elles sont confondues. Donc, les points I, J, K et L sont alignés.

 

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés