Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les sinus et cosinus

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Sinus, cosinus et angles associés

Cette page s’inscrit dans un programme de maths de première S. Elle détaille des notions vues en seconde (voir la page initiation à la trigonométrie) sans toutefois apporter de grandes nouveautés : les cures d’amaigrissement successives des programmes de maths permettent désormais de s’attarder sur ce qui relevait autrefois de la simple déduction de la part des élèves...

Rappel du cercle trigonométrique :

cercle trigonométrique

Soit a un réel et M un point du cercle trigonométrique tel que l’angle formé par l’axe des abscisses et le vecteur OM soit égal à α. On appelle sinus de α l’ordonnée du point M et cosinus de α son abscisse. Ils s’écrivent respectivement sin α et cos α. On peut d’ailleurs présenter cette mesure sous forme vectorielle :

vecteurs

Rappelons que la mesure de α est égale à celle de α + 2, k étant un entier relatif.

Le rayon du cercle trigonométrique est égal à 1. Donc OM = 1. Une simple application du théorème de Pythagore permet donc d’affirmer que, quel que soit α, on a sin² α + cos² α = 1. Autres conséquences du fait que le rayon est égal à 1, -1 ≤ sin α ≤ 1 et -1 ≤ cos α ≤ 1.

Angles associés

Un angle a possède quatre angles associés : -α, α + ππ – α et (π / 2) – α. Grâce à ces angles associés, on comprend facilement certaines égalités.

Par exemple, la figure ci-dessous montre bien que cos α = cos (-α) mais aussi que sin (-α) = -sin α.

sinus et cosinus

De même, il est évident que sin (α + π) = -sin α et cos (α + π) = -cos α (ce qui se démontre aisément avec les formules d'addition) :

sinus et cosinus

Nous nous passerons d’illustration mais vous avez peut-être deviné que sin α = sin (π – α) et que cos (π – α) = -cos α.

Enfin, comme les angles de mesures α et (π / 2) – α sont symétriques par rapport à la première bissectrice, on peut affirmer que :

identités

cercle trigonométrique

Bien sûr, vous pouvez apprendre ces égalités par cœur mais il est préférable qu’elles vous semblent si évidentes que leur apprentissage en devienne inutile !

Valeurs approchées

La calculatrice permet de déterminer des valeurs approchées (ou parfois exactes) des angles. Il faut d’abord s’assurer qu’elle est en mode radian.

Par exemple, sin (π / 5) ≈ 0,5877852523

Exercice

Simplifier l’expression suivante :

exercice

Éléments de correction

A = cos (π – x) + cos x + sin x
A = -cos x + cos x + sin x
A = sin x

Vérification à la calculatrice. Choisissons x = 2.

Il suffit de taper cos(3π-2)+sin((π/2)-2)-sin(π+2). La calculatrice nous indique 0,9092974268.

En tapant sin(2), on obtient le même résultat.

 

calcul de sinus et cosinus

 

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