Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les sections de solides

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Exemple d'une section de solide

En France, le programme de maths de seconde comprend un chapitre sur les solides, plus précisément les polyèdres. Ce n’est pas lui qui pose les jalons les plus importants pour aborder les programmes des années suivantes mais il permet une initiation aux raisonnements et une présentation de vues en trois dimensions. Après bac, même sans suivre des études d’ingénieur, une vision en trois dimensions est un prérequis pour comprendre certains mécanismes, y compris en statistiques (je sais, en seconde, ça peut paraître étrange de lire un truc pareil mais faites moi confiance).

Un exercice habituel consiste à montrer ce que donne une section d’un polyèdre assez simple (octaèdre, tétraèdre, cube, pavé...), brisé évidemment de travers en respectant trois points de coupe. Le but ultime est de représenter la section du solide. Mais ce qui est intéressant, c’est surtout la façon de raisonner pour parvenir à ce résultat.

Mathématiquement, la section de coupe est un plan. Et dans l’espace, un plan est défini par trois points. Ce n’est généralement pas suffisant pour représenter immédiatement l’aire de la section. Ci-dessous, nous étudierons la coupe d’un pavé. C’est pour une large part une application des positions relatives de plans et de droites.

Soit le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous. Représenter sa section par le plan (IJK).

pavé

La première chose à repérer, ce sont les deux points qui figurent sur une même face. Il faut tracer la droite qui les contient. Elle permet de placer un point L sur la droite (AD), point qui sera l’intersection entre les plans (ABC), (IJK) et (ADE).

point L

Le tracé de la droite d’intersection avec le plan (BCJ) est un peu plus compliqué. Il faut remarquer que si la droite (KI) fait partie du mystérieux plan (IJK), la droite (BC) est quant à elle incluse dans (BCJ). L’intersection de ces deux droites, le point M, fait donc partie du plan recherché. Mais il se situe en-dehors du pavé.

point M

Son rôle est de nous permettre la localisation d'un point N, intersection entre le plan (IJK) et la droite (FB) qui lui est sécante. Comme (JM) est incluse dans (IJK), N est donc le point d’intersection entre (JM) et (FB).

point N

L’étape suivante est simple à deviner. Comme I et N appartiennent aux plans (ABF) et (IJK), alors la droite (IN) représente l’intersection des deux plans.

doite IN

Utilisons à présent les règles du parallélisme. Nous savons que les plans (ABE) et (CDH) sont parallèles. Or, un plan qui coupe deux plans parallèles implique deux intersections qui s’avèrent être deux droites parallèles (Cf. l’illustration de la page parallélisme). Donc il existe sur la droite (HD), qui rappelons-le appartient à (CDH), un point O qui, pour appartenir au plan (IJK) doit former une droite (OJ) parallèle à (IN). Vous suivez ?

point O

Comme les points O et L appartiennent à la fois au plan (IJK) et à (AED), alors la droite (OL) appartient à (IJK).

droite OL

Notez que (OL) aurait pu être déterminée d'une autre façon, sachant qu’elle est parallèle à (JN). En tout cas, il ne reste plus grand chose de notre beau pavé !

coupe

 

section de solides

 

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