Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les droites et plans sécants dans l'espace

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Droites et plans sécants, théorème du toit

En terminale S, on approfondit les notions de croisements dans l’espace (plans sécants, droites sécantes). En classe de seconde, ces notions ont déjà été, sinon étudiées du moins survolées à l’occasion de la présentation du parallélisme dans l’espace. Cette page est donc rédigée aussi bien à l’attention d’élèves de seconde que de terminale S.

Après avoir vu diverses propriétés, nous démontrerons le théorème du toit. Cette démonstration n’est pas exigible au programme de terminale (et encore moins à celui de seconde) mais elle vient illustrer la méthode de la contraposée.

Deux plans

Deux plans sont confondus si tous leurs points sont communs (c’est assez intuitif !) et au contraire ils sont strictement parallèles s’ils n’en ont aucun.

Si deux plans sont sécants, alors leur intersection forme une droite.

intersection

Un plan et une droite

Un plan P et une droite (d) peuvent être sécants en un point, strictement parallèles, ou (d) peut être incluse dans P.

droites et plans

Deux droites

Dans l’espace, deux droites qui n’ont aucun point en commun ne sont pas pour autant parallèles. Si vous avez du mal à vous les représenter dans l’espace, imaginez deux traînées d’avions qui se croisent (vues du sol) alors que les avions n’ont pas volé à la même altitude.

En revanche, si les droites sont coplanaires elles sont strictement parallèles si elles n’ont aucun point en commun, confondues si elles en ont une infinité et sécantes si elles en ont un seul.

droites coplanaires ou non

Théorème du toit

Soit deux plans sécants (P1) et (P2) contenant deux droites parallèles (d1) et (d2). L’intersection de (P1) et (P2) est une droite (d3) parallèle à (d1) et (d2).

Démontrons-le.

On sait que les droites (d1) et (d2) sont parallèles. Or, deux droites parallèles sont coplanaires. Elles définissent donc un plan (P3).

Par la suite, nous supposerons que les droites (d1) et (d3) sont sécantes, ce qui est évidemment faux mais nous pourrons ainsi utiliser la contraposée de notre démonstration.

Admettons que les deux droites (d1) et (d3) sont sécantes en un point O.

On sait que :

d3=P1 inter P2 et d1=P1 inter P3

Donc le point O appartient à la fois à (P1), (P2) et (P3).

Comme il appartient à (P2) et à (P3), il appartient à l’intersection de ces deux plans, c’est-à-dire à (d2).

Par conséquent, si les droites (d1) et (d3) sont sécantes en O, alors (d1) et (d2) le sont aussi, ainsi que (d2) et (d3).

Nous avons montré que si (d1) sécante à (d3) alors (d1) sécante à (d2).

Contraposée : (d1) non sécante à (d2)(d1) non sécante à (d3).

On sait que (d1) et (d3) sont dans le même plan. Comme elles sont non sécantes, alors elles sont parallèles.

Et comme (d1) est parallèle à (d2), alors (d3) est aussi parallèle à (d2).

Orthogonalité

Voir la page orthogonalité dans l’espace.

 

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés