Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le plan repéré

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Repères cartésiens dans le plan

En classe de seconde, on formalise un objet mathématique déjà abordé au collège : le plan repéré. Il s’agit en quelque sorte de la « table de travail » sur laquelle on trace les représentations graphiques des fonctions ou des figures géométriques. On parle alors de géométrie analytique, par opposition à la géométrie pure conçue dans un plan non repéré.

Descartes

Mathématicien, physicien et philosophe, René Descartes (1596-1650) est l’une des personnalités françaises les plus célèbres. À tel point que sa commune natale porte aujourd’hui son nom (ses habitants n’étant pas des Cartésiens mais des Descartois) et que son crâne est exposé au musée de l’Homme (ce qui relève tout de même d’une démarche assez curieuse). C’est lui qui initia l’utilisation du plan repéré. D’où les termes de « plan cartésien » et de « coordonnées cartésiennes » souvent employés.

Descartes

Certes, la présentation qui suit ne vous rendra pas suffisamment génial pour que votre crâne se retrouve derrière une vitrine dans quatre siècles, mais elle consolidera certainement vos notions mathématiques, nécessaires à tout élève de seconde.

Repérage

Soit un plan. On le nomme, à l’instar d’une droite, par une lettre entre parenthèses. Habituellement, c’est (P).

Dans (P), on place trois points non alignés, habituellement exprimés par des lettres majuscules sans parenthèses : O, I et J. Ceci nous permet de tracer deux droites, (OI) et (OJ).

Ces trois points nous permettent de définir un repère. (OI) et (OJ) deviennent alors des axes. Un repère se note entre parenthèses, avec les trois points qui permettent de le définir, séparés par des virgules.

Soit à présent un point M situé quelque part dans le plan. Pour tout point M, il existe deux uniques points Mx et My appartenant respectivement à (OI) et (OJ) tels que OMx et OMy est un parallélogramme.

À ce point M on associe deux uniques réels x et y tels que x est la coordonnée du point Mx dans le repère (O, I) et y est la coordonnée du point My dans le repère (O, J). Les axes sont donc gradués.

L’unique couple (x ; y) associé au point M est la coordonnée de ce point dans le repère (O, I, J). x est appelé abscisse du point M et y est appelé ordonnée du point M. Remarquez que les coordonnées s’écrivent entre parenthèses et qu’elles sont séparées par un point-virgule.

Le point O d’intersection des axes, de coordonnées (0 ; 0), est appelé l’origine du repère.

Types de repères

La façon dont sont disposés O, I et J, c’est-à-dire la nature du triangle qu’ils forment, caractérise ce plan. En effet, un simple triangle permet de synthétiser les deux caractéristiques du plan : l’angle formé au point O et la distance à O des points I et J (notamment si OI et OJ sont égales ou non).

Si le triangle OIJ est rectangle isocèle en O, le repère est orthonormé (ou orthonormal).

En mathématiques, c’est le repère le plus souvent utilisé, du moins au lycée. Il permet par exemple de calculer des distances euclidiennes.

orthonormé

Si le triangle OIJ est rectangle en O, le repère est orthogonal. Un repère orthonormé est donc aussi orthogonal. Il se rencontre lui aussi fréquemment, en particulier pour représenter des phénomènes hors du champ mathématique. Pour en faciliter la lecture, ils sont d’ailleurs souvent représentés avec des axes qui ne se croisent pas en (0 ; 0) (voir par exemple la page chômage).

orthogonal

Si le triangle OIJ est isocèle en O, le repère est normé. Un repère orthonormé est donc à la fois orthogonal et normé. Peu pratique, ce type de repère se rencontre très peu (sauf dans des espaces à trois dimensions).

normé

Si le triangle OIJ est quelconque en O, le repère est quelconque. Lui aussi se rencontre assez peu.

quelconque

Vecteurs

Un plan repéré permet aussi de représenter des vecteurs. On préfère alors le définir avec deux vecteurs non colinéaires plutôt qu’avec des points non alignés et on le note avec le triplet :

(o,i,j)

 

nord perdu

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés