Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les racines d'un trinôme

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Racines réelles et complexes, discriminant

Un grand classique des programmes des classes de première si l'on se situe sur l’ensemble des réels, puis de terminale scientifique quand on travaille sur celui des nombres complexes.

Dans le monde des réels (programmes des premières S, ES, STMG, etc.)

Un trinôme, ou polynôme du second degré, a pour expression développée ax² + bx + c avec a ≠ 0 (si b et c sont nuls, il devient « monôme du second degré de coefficient a »).

Pour une équation dans laquelle se trouve un second degré, c'est-à-dire ax², on commence par la poser sous forme d'un trinôme égal à zéro.

Exemple : 3x² + x + 2 = 3x + 1 devient 3x² – 2x + 1 = 0.

Il peut exister une, deux ou aucune solution.

Pour les trouver, le polynôme doit être factorisé (multiplication de deux facteurs). Cette factorisation requiert soit de passer par l'étape de la forme canonique, soit par le calcul, plus pratique, du discriminant noté Δ (delta majuscule). La formule de ce dernier est au programme des classes de première, toutes filières confondues. C'est le fameux Δ = b² – 4ac.

S’il est négatif, l'équation n'admet aucune solution. S'il est nul, il en existe une seule. S'il est positif, l'équation admet deux solutions que l'on nommera x1 et x2 et qui sont les racines du trinôme.

racines

Évidemment, lorsque le discriminant est nul, on obtient ce que l'on appelle une racine double :

racine double

Le polynôme factorisé s’écrit a(x – x1)(x – x2). Comme vous l’avez deviné, si Δ est nul, on obtient a(x – x0, auquel cas la factorisation aurait tout simplement pu être effectuée en utilisant une identité remarquable, sans l'aide de Δ. En revanche, pas de factorisation possible si ce dernier est négatif (du moins dans l’ensemble des réels). Le trinôme ne peut pas être égal à 0 et son signe est celui de a. C'est la cas de notre exemple 3  2x + 1 (positif quel que soit x).

La résolution d'une inéquation, c'est-à-dire la recherche du signe du trinôme, requiert la connaissance d'une autre considération : son signe est le contraire de celui de a pour tout x situé entre les racines et du même signe sur les intervalles à gauche et à droite.

Et ce n’est pas tout !

Il se trouve que (-b / a) est égal à la somme des deux racines et que (c / a) est égal à leur produit. Lorsqu’on exécute les calculs à la main, c’est un moyen bien pratique de les vérifier. Ah ! la magie des maths !

Exemple. Déterminons le signe de P =  + 2x  8.

On pose  + 2x  8 = 0 puis on calcule le disciminant Δ = 2²  4(1 × -8) = 36. Comme 36 est positif, il existe deux solutions. La racine carrée de 36 étant 6, donc un entier, les solutions ne seront pas trop alambiquées.

En appliquant les formules, on trouve x1 = (-2  6) / 2 = -4 et x2 = (-2 + 6) / 2 = 2.

Vérification : -b / a est égal à -2 et c'est bien la somme des deux racines. c / a est égal à -8 et c'est bien le produit des deux racines.

Donc, forme factorisée : P = (x  2)(x + 4)

Conclusion, P est nul si x est égal à -4 ou à 2. Entre ces deux valeurs, il est négatif puisque a = 1 qui est un nombre positif. Par exemple, si = 0, P = -8. En revanche, P est positif lorsque x est inférieur à -4 ou supérieur à 2.

Note : un trinôme a généralement pour cadre l'étude d'une fonction polynomiale du second degré (voir les pages exercices sur le second degré, problèmes sur le second degré (première S) et dérivée d'une fonction de degré 3). Mais prudence, vous pouvez même rencontrer un trinôme en étudiant une droite (voir l'exercice sur l'équation cartésienne d'une droite, première S).

Racines complexes (programme de terminale S)

Tout nombre complexe z est composé d’une partie réelle a et d’une partie imaginaire b. Il s’écrit z = a + ib, i étant le nombre imaginaire dont le carré est -1.

Un discriminant négatif signifie que l’équation az² + bz + c = 0 admet deux solutions complexes conjuguées dans l'ensemble C des complexes :

racines conjuguées

Voyons sans plus attendre un exemple, tiré de l’épreuve du bac STI (GE, GET, GO) de décembre 2004, Nouvelle-Calédonie (pour des équations avec la forme algébrique, voir la page équations de degré 2 dans C)..

Dans l’ensemble C des nombres complexes, résoudre l’équation d’inconnue z : 2z² + 10z + 25 = 0. Écrire les solutions de cette équation sous la forme re, où r est un nombre réel positif et θ un nombre réel.

La première partie de la question réclame une simple application des formules ci-dessus. Le discriminant est égal à 10²  (4 × 2 × 25) = -100.

exemple de racines complexes

La deuxième partie aurait davantage sa place en page forme polaire des complexes mais traitons-la pour le fun. Calculons le module de z1 selon une procédure bien rôdée :

module

Quel peut bien être l’argument ?

Utilisons la forme trigonométrique. Cette fois, la procédure consiste à partir de z1 / |z1|, à en déduire la forme trigonométrique puis à transformer cette dernière en forme exponentielle selon le schéma suivant :

formes complexes

Allez, c’est parti…

exemple

On passe à la forme trigonométrique :

forme trigonométrique

Si l’on connaît le cercle trigonométrique, on conclut que θ = 3π / 4 (2π). Par conséquent :

solution

Voir aussi l'exemple 2 de la page exercices avec complexes ou encore la page triangle dans le plan complexe.

 

racines maths

 

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