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(et fondements mathématiques)

Les quadrilatères

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Quelques quadrilatères particuliers

En géométrie plane, une figure qui possède quatre côtés est un quadrilatère. Bon d’accord, vous le saviez. Pour l’essentiel, cette page offre un panorama de rappels du collège. Note : elle ne traite pas des aires (voir pour cela la page calculs d’aires).

Les figures qui nous s’intéressent sont les quadrilatères convexes, sachant qu’il en existe aussi des concaves (lorsque les diagonales ne forment pas des segments sécants) et des croisés (deux côtés sont sécants).

quadrilatères

Parmi les formes particulières de quadrilatères convexes figure le trapèze. Comme celui-ci fait l’objet d’une page spécifique sur ce site, nous ne le présentons pas ici (quoiqu’un rectangle est un trapèze isocèle qui est aussi un parallélogramme. Oui, il y a beaucoup de croisements consanguins dans la famille des quadrilatères !)

Le parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux.

Propriétés :

  • Ses côtés opposés sont de même longueur.
  • Ses diagonales se coupent en leur milieu.
  • Ses angles opposés ont même mesure.

Pour démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, soit on montre que ses côtés opposés deux à deux sont de même longueur, soit que deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur, soit que ses diagonales se coupent en leur milieu. Au collège, il est rare de démontrer l’existence d’un parallélogramme avec les mesures d’angles.

parallélogramme codé

Figure de choix pour s’initier à la géométrie analytique, le parallélogramme fait l’objet de nombreux exercices en classe de seconde.

Voyons à présent quelques parallélogrammes particuliers.

Le rectangle

Un rectangle est un quadrilatère qui a trois angles droits.

Cette définition peut sembler curieuse mais si un quadrilatère a trois angles droits, le quatrième angle l’est aussi. Donc, si l’on doit démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle sans passer par la notion de parallélogramme, il suffit de prouver qu’il a trois angles droits. Mais le plus souvent, on commence par montrer qu’il s’agit d’un parallélogramme puis on se réfère à l’une des deux propriétés suivantes.

Propriétés :

  • Si un parallélogramme a des diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.
  • Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.

rectangle codé

Si vous cherchez un exercice de géométrie analytique avec un rectangle, cliquez sur l'identification d’un rectangle.

Le losange

Le losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.

Propriétés :

  • Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.
  • Si un parallélogramme a des diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.

losange codé

Le losange ne doit pas être confondu avec le cerf-volant, qui a bien des diagonales perpendiculaires, l’une d’elles étant un axe de symétrie, mais dont les côtés ne sont pas de même longueur. La diagonale qui n’est pas axe de symétrie divise le cerf-volant en deux triangles isocèles. Enfin, un cerf-volant peut être concave.

Le carré

Le carré est à la fois un rectangle et un losange. Il y a de nombreuses façons de montrer qu’un quadrilatère est un carré.

carré codé

 

Le carré possède les propriétés du rectangle et celles du losange (et bien sûr celles de n’importe quel parallélogramme). Illustrons-en deux autres :

  • Une diagonale partage le carré en deux triangles rectangles isocèles.
  • Un carré possède quatre axes de symétrie.

carré avec diagonales

 

échiquier

 

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