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(et fondements mathématiques)

Le théorème de Pythagore

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Théorème de pythagore en géométrie sans repère

On a attribué à Pythagore de Samos ce bon vieux théorème archi connu depuis le collège. Pourtant, les Mésopotamiens le connaissaient déjà plus de mille ans auparavant. Aujourd'hui, on le trouve jusque dans les cours de statistiques plusieurs années après le bac ! Bon, nous n’allons pas faire ici de long voyage, ni dans l'Histoire ni dans les études, mais juste nous arrêter en classe de seconde.

D’abord, le théorème :

Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC² = AB² AC². Autrement dit, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Vous le saviez mais ça va mieux en le rappelant.

D’après le théorème réciproque, si BC² AB² + AC² alors le triangle ABC est rectangle en A. Logique.

Et bien sûr la contraposée du théorème réciproque : si BC² est différent de AB² + AC² alors le triangle n’est pas rectangle (tant pis pour lui).

Par ailleurs, le milieu de l’hypoténuse est aussi le centre du cercle dans lequel le triangle rectangle est inscrit. Du même coup, si une corde est confondue avec le diamètre d’un cercle entre A et B (points situé sur le cercle), alors pour n’importe quel autre point C situé sur ce même cercle, le triangle ABC est rectangle en C.

Illustration ci-dessous où les angles sont droits en C et en D (réalisation Tracenpoche).

triangles rectangles

Note : le théorème de Pythagore n'est que le cas particulier d'un théorème général, celui d'Al Kashi. Il est étudié en première S.

Voyons à présent quelques exercices de géométrie sans repère sur lesquels les élèves de seconde peuvent plancher, élèves qui ont aussi l’occasion de se servir du théorème de Pythagore dans le cadre de la géométrie analytique (c’est-à-dire avec un repère) et dans celui de la trigonométrie.

Exercice 1

Soit ABC un triangle rectangle en A. Calculer l’hypoténuse BC sachant que :

énoncé 1

Corrigé 1

corrigé 1

Vous aurez reconnu les développements d’identités remarquables. D’après le théorème de Pythagore, AB² + AC² = BC², soit 18 dont les racines carrées sont -3√2 (mais une longueur ne peut être négative) et 3√2. Donc :

BC

Exercice 2

Soit la figure ci-dessous. Nous savons que ABC est un triangle rectangle en A et que BCD est un triangle isocèle en D. BCD est-il aussi rectangle ?

énoncé 2

Corrigé 2

Comme ABC est un triangle rectangle, on applique le théorème de Pythagore pour connaître BC. AB² + AC² = BC², donc 36 + 100 = BC².

corrigé 2

Nous savons que BD = 2√17 = DC (puisque le triangle est isocèle). Donc BD² = DC² = 68. Or, nous avons vu que BC² = 136. Donc, BD² DC² = BC². D’après la réciproque du théorème de Pythagore, ADC est rectangle en D.

Exercice 3

Soit un cercle de centre O et de rayon a dans lequel un carré est inscrit. Quelle est l’aire du carré ?

Corrigé 3

Cet exercice est un peu plus difficile mais un élève de seconde a parfaitement le bagage pour le réaliser. On peut se représenter un cercle avec huit triangles rectangles isocèles qui sont tous réunis en O. Bien sûr, un seul d’entre eux nous est nécessaire.

Soit A un point situé au milieu d’un côté du carré et B un point du cercle tel que OAB représente un triangle rectangle. Nous cherchons d’abord à mesurer le côté du carré.

cercle

Une hypoténuse est égale à a. Appliquons le théorème de Pythagore.

Nous avons a² OA² + AB² = 2OA². Il s’ensuit que :

OA

Il faut multiplier ce résultat par 2 pour connaître la longueur d’un côté du carré. Un côté est donc égal à…

longueur du côté

L’aire du carré est égale au carré de cette mesure, donc 2.

Exercice 4 (géométrie dans l'espace)

Voir l'exercice 2 de la page octaèdre.

Exercice 5 (idem)

Voir l'exercice de la page pyramide.

Exercice 6 (pour classes de première, toutes filières)

Voir le problème de la page exercices sur le second degré.

 

cochon d'Inde

 

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